정적분 포함 등식

[출제의도] 정적분과 미분과의 관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가? $x f \left( x \right)$$\displaystyle = 2 x ^{3} + ax ^{2} + 3 a + \int _{1} ^{x} {} f \left( t \right) dt$ $\cdots \cdots$ ㉠ ㉠의 양변에 $x$$= 1$을 대입하면 $f \left( 1 \right)$$= 2 + a + 3 a + 0$ 이므로 $f \left( 1 \right)$$= 2 + 4 a$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠의 양변에 $x$$= 0$을 대입하면 $0$$\displaystyle = 3 a + \int _{1} ^{0} {} f \left( t \right) dt$ 즉, $0$$\displaystyle = 3 a - \int _{0} ^{1} {} f \left( t \right) dt$ 이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} f \left( t \right) dt$$= 3 a$ $\cdots \cdots$ ㉢ $f \left( 1 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} f \left( t \right) dt$이므로 ㉡, ㉢애서 $2 + 4 a$$= 3 a$ 즉, $a$$= \mathit{-} 2$, $f \left( 1 \right)$$= \mathit{-} 6$ ㉠의 양변을 미분하면 $f \left( x \right) + xf' \left( x \right)$$= 6 x ^{2} + 2 ax + f \left( x \right)$ 이므로 $f' \left( x \right)$$= 6 x + 2 a$$= 6 x - 4$ 따라서 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{} ^{} {} f' \left( x \right) dx$$= 3 x ^{2} - 4 x + C$ ($C$는 적분상수) $f \left( 1 \right)$$= \mathit{3} - 4 + C$$= \mathit{-} 6$에서 $C$$= \mathit{-} 5$ 따라서 $f \left( 3 \right)$$= 27 - 12 - 5$$= 10$ 이므로 $a + f \left( 3 \right)$$= \mathit{-} 2 + 10$$= 8$