정적분 포함 등식

[출제의도] 미분과 적분사이의 관계를 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $\displaystyle xf \left( x \right) = \int _{- 1} ^{x} {\left\{ f \left( t \right) + 2 t ^{2} + t \right\}} dt$에서 $f \left( - 1 \right) = 0$ 주어진 식을 양변을 $x$대하여 미분하면 $f \left( x \right) + xf' \left( x \right) = f \left( x \right) + 2 x ^{2} + x$ $f' \left( x \right) = 2 x + 1$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \int _{} ^{} {f' \left( x \right) dx} = x ^{2} + x + C$ (단, $C$는 적분상수) $f \left( - 1 \right) = 0$이므로 $C = 0$ $f \left( x \right) = x ^{2} + x$이므로 $f \left( 3 \right) = 12$