미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정적분 조건 보기

문제

함수 fn(x)=(nx−∑k=1nak)2\displaystyle f _{n} ( x ) = \left( nx - \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \right) ^{2}가 ∫01fn′(x)dx=−n3\displaystyle \int _{0} ^{1} {f _{n}' ( x ) dx = - n ^{3}}을 만족할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, a1,a2,a3,⋯ ,ana _{1} , a _{2} , a _{3} , \cdots , a _{n}은 상수) [4점]

<보 기>
ㄱ. ∑k=1nak=n(n+1)2\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \frac{n ( n + 1 )}{2} ㄴ. f2(2)=3f _{2} ( 2 ) = 3 ㄷ. ∫0n+1fn(x)dx=2∫0n+12fn(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{n + 1} {} f _{n} ( x ) dx = {2} \int _{0} ^{\frac{n + 1}{2}} {} f _{n} ( x ) dx

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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④

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해설

fn(x)=(nx−∑k=1nak)2=(nx−Sn)2\displaystyle f _{n} ( x ) = \left( nx - \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \right) ^{2} = \left( nx - S _{n} \right) ^{2} ㄱ. ∑k=1nak=Sn\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = S _{n}라 하면 fn(1)−fn(0)=−n3f _{n} ( 1 ) - f _{n} ( 0 ) = - n ^{3} 에서 (n−Sn)2−Sn2=−n3( n - S _{n} ) ^{2} - S _{n} ^{2} = - n ^{3}, Sn=n(n+1)2\displaystyle S _{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} (참) ㄴ. n=2n = 2 일 때, f2(x)=(2x−3)2f _{2} ( x ) = \left( 2 x - 3 \right) ^{2} f2(2)=1f _{2} ( 2 ) = 1 (거짓) ㄷ. fn(x)={nx−n(n+1)2}2\displaystyle f _{n} ( x ) = \left\{ nx - \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}는 x=n+12\displaystyle x = \frac{n + 1}{2}에 대하여 대칭이므로 ∫0n+1fn(x)dx=2∫0n+12fn(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{n + 1} {} f _{n} ( x ) dx = 2 \int _{0} ^{\frac{n + 1}{2}} {} f _{n} ( x ) dx (참)

태그

#정적분#대칭#보기

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