미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분 합과 극한

문제

양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)f ( x )가 모든 자연수 nn에 대하여 ∫nn+1f(x)dx=1n2+2n\displaystyle \int _{n} ^{n + 1} {} f ( x ) dx = \frac{1}{n ^{2} + 2 n}를 만족시킬 때, lim⁡n→∞n(∫1nf(x)dx−34)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n \left( \int _{1} ^{n} f ( x ) dx - \frac{3}{4} \right) 의 값은? [4점] ①−1- 1②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③00④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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①

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해설

∫nn+1f(x)dx=12(1n−1n+2)\displaystyle \int _{n} ^{n+1} {f ( x ) dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right) ∑k=1n−1∫kk+1f(x)dx=∫12f(x)dx+∫23f(x)dx+⋯+∫n−1nf(x)dx\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \int _{k} ^{k + 1} {f ( x )} dx = \int _{1} ^{2} {f ( x ) dx} + \int _{2} ^{3} {f ( x ) dx} + \cdots + \int _{n - 1} ^{n} {f ( x ) dx} =∫1nf(x)dx=∑k=1n−112(1n−1n+2)\displaystyle = \int _{1} ^{n} {f ( x ) dx} = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2} \right)=12(1+12−1n−1n+1)=34−12(1n+1n+1)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right) ∴∫1nf(x)dx−34=−12(1n+1n+1)=−2n+12n(n+1)\displaystyle \therefore \int _{1} ^{n{f ( x ) dx}} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} \right) = - \frac{2 n + 1}{2 n ( n + 1 )} ∴lim⁡n→∞n(∫1nf(x)dx−34)=lim⁡n→∞n⋅−2n+12n(n+1)=−1\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {n \left( \int _{1} ^{n{f ( x ) dx}} - \frac{3}{4} \right) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty {n \cdot - \frac{2 n + 1}{2 n ( n + 1 )} = - 1}}}

태그

#부분분수#정적분#극한

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