정적분 함수와 넓이

출제의도 : 주어진 조건을 이용하여 극값을 가질 조건과 정적분과 넓이의 의미를 이해하고 정적분의 성질을 이용하여 함숫값의 차를 구할 수 있는가? $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} f ( t ) d t$ 의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g' ( x ) = f ( x )$ 이고 삼차함수 $f ( x )$의 최고차항의 계수가 양수이면서 $f ( \alpha ) = f ( \beta ) = f ( \gamma ) = 0 ( 0 < \alpha < \beta < \gamma )$ 이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

이때 함수 $g ( x )$는 $x = \beta$에서 극댓값이 $0$이므로 $\displaystyle g ( \beta ) = \int _{0} ^{\beta} f ( t ) d t = 0$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{\beta} f ( t ) d t$$\displaystyle = \int _{0} ^{\alpha} f ( t ) d t + \int _{\alpha} ^{\beta} f ( t ) d t = 0$----㉠ 한편 $\begin{aligned} h ( \beta ) & \end{aligned}$$\displaystyle = \int _{0} ^{\beta} | f ( t ) | d t$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\alpha} ( - f ( t ) ) d t + \int _{\alpha} ^{\beta} f ( t ) d t$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{\alpha} f ( t ) d t + \int _{\alpha} ^{\beta} f ( t ) d t = 8$ ---㉡ 이므로 ㉠, ㉡0에서 $\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} f ( t ) d t = - 4 , \int _{\alpha} ^{\beta} f ( t ) d t = 4$ 또, $h ( \gamma )$$\displaystyle = \int _{0} ^{\gamma} | f ( t ) | d t$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\beta} | f ( t ) | d t - \int _{\beta} ^{\gamma} f ( t ) d t$ $\displaystyle = 8 - \int _{\beta} ^{\gamma} f ( t ) d t = 24$ 이므로 $\displaystyle \int _{\beta} ^{\gamma} f ( t ) d t = - 16$ 따라서 $g ( \alpha ) - g ( \gamma )$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\alpha} f ( t ) d t - \int _{0} ^{\gamma} f ( t ) d t$ $\displaystyle = - \int _{\alpha} ^{\beta} f ( t ) d t - \int _{\beta} ^{\gamma} f ( t ) d t$ $= - 4 - ( - 16 )$ $= 12$