정적분 함수의 실근

[출제의도] 적분법을 이용하여 방정식의 근의 개수를 구하는 문제를 해결한다. 함수 $f ( x )$는 주기가 $2$이고, 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 실수 $t$와 정수 $k$에 대하여 $\displaystyle \int _{t} ^{t + 2 k} {f ( x ) dx = 0}$, $\displaystyle \int _{- t} ^{t + 2 k} {f ( x ) dx = 0}$ 따라서 구간 $[ - 1 , 1 ]$에서 방정식 $h ( x ) = 0$ 즉 $\displaystyle \int _{g ( x )} ^{g ( x + 1 )} {f ( t ) dt} = 0$을 만족시키려면 $g ( x + 1 ) - g ( x ) = 2 n$($n$은 정수) 또는 $g ( x + 1 ) + g ( x ) = 2 m$($m$은 정수)이어야 한다. $g ( x ) = x ( x + 1 )$이므로 $g ( x + 1 ) - g ( x ) = 2 ( x + 1 )$ $g ( x + 1 ) + g ( x ) = 2 ( x + 1 ) ^{2}$ 구간 $[ - 1 , 1 ]$에서 두 함수 $y = 2 ( x + 1 )$, $y = 2 ( x + 1 ) ^{2}$의 그래프는 그림과 같으므로 $2 ( x + 1 ) = 2 n$($n$은 정수)를 만족시키는 $x$의 값은 $- 1$, $0$, $1$이고, $2 ( x + 1 ) ^{2} = 2 m$($m$은 정수)를 만족시키는 $x$의 값은 $- 1$, $0$, $\displaystyle \sqrt{2} - 1$, $\displaystyle \sqrt{3} - 1$, $1$이다. 따라서 서로 다른 실근의 개수는 $5$