미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정적분 함수의 극소

문제

최고차항의 계수가 22인 이차함수 f(x)f \left( x \right)에 대하여 함수 g(x)g \left( x \right)=∫xx+1∣f(t)∣dt\displaystyle = \int _{x} ^{x + 1} {} \left| f \left( t \right) \right| dt는 xx=1= 1과 xx=4= 4에서 극소이다. f(0)f \left( 0 \right)의 값을 구하시오. [4점]

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13

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해설

[출제의도] 정적분으로 나타낸 함수를 이해하고 극솟값을 가질 조건을 구할 수 있는가? 모든 실수 xx에 대하여 f(x)≥0f \left( x \right) \geq 0이면 g(x)g \left( x \right)=∫xx+1∣f(t)∣dt\displaystyle = \int _{x} ^{x + 1} {\left| f \left( t \right) \right|} dt=∫xx+1f(t)dt\displaystyle = \int _{x} ^{x + 1} {} f \left( t \right) dt 이므로 g(x)g \left( x \right)는 이차함수이고 이때 g(x)g \left( x \right)가 극소인 xx의 값은 11개뿐이다. 따라서 조건을 만족시키지 못한다. f(x)f \left( x \right)=2(x−α)(x−β)= 2 \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right)(α<β\alpha < \beta)라 하면 함수 yy=∣f(x)∣= \left| f \left( x \right) \right|의 그래프는 그림과 같고 xx=1= 1, xx=4= 4에서 함수 g(x)g \left( x \right)가 극소이므로 g′(1)g' \left( 1 \right)=0= 0, g′(4)g' \left( 4 \right)=0= 0이다.

(ⅰ) x<α<x+1x < \alpha < x + 1일 때 g(x)g \left( x \right)=∫xx+1∣f(t)∣dt\displaystyle = \int _{x} ^{x + 1} {} \left| f \left( t \right) \right| dt =∫xαf(t)dt+∫αx+1{−f(t)}dt\displaystyle = \int _{x} ^{\alpha} {} f \left( t \right) dt + \int _{\alpha} ^{x + 1} {} \left\{ - f \left( t \right) \right\} dt =−∫αxf(t)dt−∫αx+1f(t)dt\displaystyle = \mathit{-} \int _{\alpha} ^{x} {} f \left( t \right) dt - \int _{\alpha} ^{x + 1} {} f \left( t \right) dt =−∫αx2(t−α)(t−β)dt−∫αx+12(t−α)(t−β)dt\displaystyle = \mathit{-} \int _{\alpha} ^{x} {} 2 \left( t - \alpha \right) \left( t - \beta \right) dt - \int _{\alpha} ^{x + 1} {} 2 \left( t - \alpha \right) \left( t - \beta \right) dt =−∫αx2(t−α)(t−β)dt−∫α−1x2(t+1−α)(t+1−β)dt\displaystyle = \mathit{-} \int _{\alpha} ^{x} {} 2 \left( t - \alpha \right) \left( t - \beta \right) dt - \int _{\alpha - 1} ^{x} {} 2 \left( t + 1 - \alpha \right) \left( t + 1 - \beta \right) dt 이므로 g′(x)g' \left( x \right)=−2(x−α)(x−β)−2(x+1−α)(x+1−β)= \mathit{-} 2 \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) - 2 \left( x + 1 - \alpha \right) \left( x + 1 - \beta \right) g′(1)g' \left( 1 \right)=−2(1−α)(1−β)−2(2−α)(2−β)= \mathit{-} 2 \left( 1 - \alpha \right) \left( 1 - \beta \right) - 2 \left( 2 - \alpha \right) \left( 2 - \beta \right) =6α+6β−4αβ−10= 6 \alpha + 6 \beta - 4 \alpha \beta - 10=0= 0 3α+3β−2αβ−53 \alpha + 3 \beta - 2 \alpha \beta - 5=0= 0 ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ (ⅱ) x<β<x+1x < \beta < x + 1일 때 g(x)g \left( x \right)=∫xx+1∣f(t)∣dt\displaystyle = \int _{x} ^{x + 1} {} \left| f \left( t \right) \right| dt =∫xβ{−f(t)}dt+∫βx+1f(t)dt\displaystyle = \int _{x} ^{\beta} {} \left\{ - f \left( t \right) \right\} dt + \int _{\beta} ^{x + 1} {} f \left( t \right) dt =∫βxf(t)dt−∫βx+1f(t)dt\displaystyle = \int _{\beta} ^{x} {} f \left( t \right) dt - \int _{\beta} ^{x + 1} {} f \left( t \right) dt =∫βx2(t−α)(t−β)dt+∫βx+12(t−α)(t−β)dt\displaystyle = \int _{\beta} ^{x} {} 2 \left( t - \alpha \right) \left( t - \beta \right) dt + \int _{\beta} ^{x + 1} {} 2 \left( t - \alpha \right) \left( t - \beta \right) dt =∫βx2(t−α)(t−β)dt−∫β−1x2(t+1−α)(t+1−β)dt\displaystyle = \int _{\beta} ^{x} {} 2 \left( t - \alpha \right) \left( t - \beta \right) dt - \int _{\beta - 1} ^{x} {} 2 \left( t + 1 - \alpha \right) \left( t + 1 - \beta \right) dt 이므로 g′(x)g' \left( x \right)=2(x−α)(x−β)+2(x+1−α)(x+1−β)= 2 \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right) + 2 \left( x + 1 - \alpha \right) \left( x + 1 - \beta \right) g′(1)g' \left( 1 \right)=2(4−α)(4−β)−2(5−α)(5−β)= \mathit{2} \left( 4 - \alpha \right) \left( 4 - \beta \right) - 2 \left( 5 - \alpha \right) \left( 5 - \beta \right) =82−18α−18β+4αβ= 82 - 18 \alpha - 18 \beta + 4 \alpha \beta=0= 0 9α+9β−2αβ−419 \alpha + 9 \beta - 2 \alpha \beta - 41=0= 0 ⋯⋯\cdots \cdots ㉡ ㉠, ㉡에서 αβ\alpha \beta=132\displaystyle = \frac{13}{2} 이므로 f(0)f \left( 0 \right)=2αβ= 2 \alpha \beta=2×132\displaystyle = 2 \times \frac{13}{2}=13= 13

태그

#정적분으로 정의된 함수#극소#절댓값

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