미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정적분 함수의 극값

문제

양수 aa, bb에 대하여 함수 f(x)=∫0x(t−a)(t−b)dt\displaystyle f ( x ) = \int _{0} ^{x} {( t - a ) ( t - b ) dt} 가 다음 조건을 만족시킬 때, a+ba + b의 값은? [4점]

(가) 함수 f(x)f ( x )는 x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}에서 극값을 갖는다. (나) f(a)−f(b)=16\displaystyle f ( a ) - f ( b ) = \frac{1}{6}

①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 수학내적 문제해결하기 함수 f′(x)=(x−a)(x−b)f' ( x ) = ( x - a ) ( x - b )이고 (가)에서 f(x)f ( x )가 x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}에서 극값을 가지므로 a=12\displaystyle a = \frac{1}{2} 또는 b=12\displaystyle b = \frac{1}{2} f(a)−f(b)f \left( a \right) - f \left( b \right) =∫0a(t−a)(t−b)dt−∫0b(t−a)(t−b)dt\displaystyle = \int _{0} ^{a} {\left( t - a \right) \left( t - b \right) dt} - \int _{0} ^{b} {\left( t - a \right) \left( t - b \right) dt} =∫0a(t−a)(t−b)dt+∫b0(t−a)(t−b)dt\displaystyle = \int _{0} ^{a} {\left( t - a \right) \left( t - b \right) dt} + \int _{b} ^{0} {\left( t - a \right) \left( t - b \right) dt} =∫ba(t−a)(t−b)dt\displaystyle = \int _{b} ^{a} {\left( t - a \right) \left( t - b \right) dt}=−(a−b)36=16\displaystyle = - \frac{\left( a - b \right) ^{3}}{6} = \frac{1}{6} 이므로 b−a=1b - a = 1 b=12\displaystyle b = \frac{1}{2}이면 a=−12\displaystyle a = - \frac{1}{2}이므로 모순 따라서 a=12\displaystyle a = \frac{1}{2}이고 b=32\displaystyle b = \frac{3}{2}이므로 a+b=2a + b = 2

태그

#정적분으로 정의된 함수#극값

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