정적분 함수의 극값

[출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수가 극값을 하나만 갖도록 하는 상수 $a$의 값을 구할 수 있는가? $f ( x ) = x ^{3} - 12 x ^{2} + 45 x + 3$에서 $f' ( x )$$= 3 x ^{2} - 24 x + 45$$= 3 ( x - 3 ) ( x - 5 )$ $g ( x )$$\displaystyle = \int _{a} ^{x} {\left\{ f ( x ) - f ( t ) \right\} \times \left\{ f ( t ) \right\} ^{4} dt}$ $\displaystyle = f ( x ) \int _{a} ^{x} {\left\{ f ( t ) \right\} ^{4} dt} - \int _{a} ^{x} {\left\{ f ( t ) \right\} ^{5} dt}$ $g' ( x )$$\displaystyle = f' ( x ) \int _{a} ^{x} {\left\{ f ( t ) \right\} ^{4} dt} + \left\{ f ( x ) \right\} ^{5} - \left\{ f ( x ) \right\} ^{5}$ $\displaystyle = f' ( x ) \int _{a} ^{x} {\left\{ f ( t ) \right\} ^{4}} dt$ $g' ( x ) = 0$에서 $f' ( x ) = 0$ 또는 $x = a$ (ⅰ) $a \ne 3 ,$ $a \ne 5$일 때, $g' ( x ) = 0$에서 $x = 3$ 또는 $x = 5$ 또는 $x = a$ 함수 $g ( x )$는 $x = 3 ,$ $x = 5 ,$ $x = a$에서 모두 극값을 갖는다. (ⅱ) $a = 3$일 때 $g' ( x ) = 0$에서 $x = 3$ 또는 $x = 5$ 함수 $g ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $g ( x )$는 $x = 5$에서만 극값을 갖는다. (ⅲ) $a = 5$일 때 $g' ( x ) = 0$에서 $x = 3$ 또는 $x = 5$ 함수 $g ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $g ( x )$는 $x = 3$에서만 극값을 갖는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 함수 $g ( x )$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$의 값은 $3$ 또는 $5$이다. 따라서 모든 $a$의 값의 합은 $3 + 5 = 8$