정적분 함수방정식

주어진 식 $\displaystyle x \int _{- 1} ^{x} f \left( t \right) dt + x ^{3} + a = 2 \int _{1} ^{x} tf \left( t \right) dt$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \int _{- 1} ^{x} f \left( t \right) dt + xf \left( x \right) + 3 x ^{2} = 2 xf \left( x \right)$ $\displaystyle \int _{- 1} ^{x} f \left( t \right) dt + 3 x ^{2} = xf \left( x \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡의 양변에 $x = - 1$을 대입하면 $0 + 3 = - f \left( - 1 \right)$ $\therefore f \left( - 1 \right) = - 3$ ㉡의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f \left( x \right) + 6 x = f \left( x \right) + xf' \left( x \right)$ $xf' \left( x \right) = 6 x$ $f \left( x \right)$는 다항함수이므로 $f' \left( x \right) = 6$이다. $\therefore f \left( x \right) = 6 x + C$ ($C$는 상수) $f \left( - 1 \right) = - 6 + C = - 3$에서 $C = 3$이므로 $f \left( x \right) = 6 x + 3$ $\therefore f \left( 3 \right) = 6 \times 3 + 3 = 21$ 또한 ㉠의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} f \left( t \right) dt + 1 + a = 0$ $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} \left( 6 t + 3 \right) dt + 1 + a = 0$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 3 t ^{2} + 3 t \end{array} \right] _{- 1} ^{1} + 1 + a = 0$ $6 + 1 + a = 0$ $\therefore a = - 7$ $\therefore f \left( 3 \right) + a = 21 + \left( - 7 \right) = 14$