정적분 함수방정식

$\displaystyle \int _{1} ^{x} tf \left( t \right) dt = 3 x ^{4} - 2 ax ^{3} + x ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $0 = 3 - 2 a + 1$, $a = 2$ ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $xf \left( x \right) = 12 x ^{3} - 6 ax ^{2} + 2 x$ $a = 2$이므로 $xf \left( x \right) = 12 x ^{3} - 12 x ^{2} + 2 x$ $\therefore$ $f \left( x \right) = 12 x ^{2} - 12 x + 2$ 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \int _{- a} ^{a} {} f \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{- 2} ^{2} f \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{- 2} ^{2} {} \left( 12 x ^{2} - 12 x + 2 \right) dx$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{2} {} \left( 12 x ^{2} + 2 \right) dx$ $\displaystyle = 2 \times \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 4 x ^{3} + 2 x \end{array} \right] _{0} ^{2}$ $= 2 \times \left( 4 \times 2 ^{3} + 2 \times 2 \right) = 72$