정적분 함수 조건

[출제의도] 그래프의 성질을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. $\displaystyle g ( x ) = \int _{1} ^{x} {f ( t )} dt$이므로 $g ( x )$는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이고 $\displaystyle g ( x ) = \int _{1} ^{x} {f ( t )} dt$에 $x = 1$을 대입하면 $\displaystyle g ( 1 ) = \int _{1} ^{1} {f ( t )} dt = 0$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\displaystyle g ( x ) = \int _{1} ^{x} {f ( t )} dt$를 $x$에 대하여 미분하면, $g' ( x ) = f ( x )$이고 $f ( 1 ) = 0$이므로 $g' ( 1 ) = 0$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$과 $\text{㉡}$에 의해 $g ( x ) = k ( x - 1 ) ^{2} ( x - a )$ ($k > 0$)꼴이다. $a = 1$이면 (나)를 만족하지 않으므로 $a \ne 1$인 경우에 대하여 함수 $g ( x ) = k ( x - 1 ) ^{2} ( x - a )$의 그래프는 그림 (ⅰ), (ⅱ) 중 하나이다.

(가)에서 $g ( 2 ) = - 6 < 0$이므로 함수 $g ( x )$의 그래프는 (ⅰ)이다. (나)에서 $g ( 3 ) < 0$이고 방정식 $\left| g ( x ) \right| = - g ( 3 )$은 서로 다른 세 실근을 가지므로 함수 $y = \left| g ( x ) \right|$의 그래프와 직선 $y = - g ( 3 )$의 그래프는 아래와 같다.

그러므로 $g' ( 3 ) = 0$ $g' ( x ) = k \left( x - 1 \right) \left( 3 x - 1 - 2 a \right)$에서 $g' ( 3 ) = 2 k ( 8 - 2 a ) = 0$이고 $k > 0$이므로 $a = 4$ $g ( x ) = k ( x - 1 ) ^{2} ( x - 4 )$이고 (가)에서 $g ( 2 ) = - 6$ 이다. $g ( 2 ) = - 2 k = - 6$, $k = 3$ 따라서 $g ( x ) = 3 ( x - 1 ) ^{2} ( x - 4 )$이므로 $g ( - 1 ) = 3 \times ( - 2 ) ^{2} \times ( - 5 ) = - 60$