정적분 함수 극값

$\displaystyle S ( x ) = \int _{1} ^{x} f ( t ) dt$에서 $S' ( x )$$= f ( x )$ 주어진 이차함수의 그래프에서 $f ( x )$의 값이 $x = 0$을 기준으로 양에서 음으로 바뀌므로 $S ( x )$는 $x = 0$에서 극댓값을 갖는다. 또한, $f ( x )$의 값이 $x = 3$을 기준으로 음에서 양으로 바뀌므로 $S ( x )$는 $x = 3$에서 극솟값을 갖는다. ∴ $\displaystyle M = S ( 0 ) = \int _{1} ^{0} f ( t ) dt$ $m = S ( 3 )$$\displaystyle = \int _{1} ^{3} f ( t ) dt$ $M - m$$= 6$이므로 $M - m$$\displaystyle = \int _{1} ^{0} f ( t ) dt - \int _{1} ^{3} f ( t ) dt$$\displaystyle = - \int _{0} ^{3} f ( t ) dt$ 에서 $\displaystyle \int _{0} ^{3} f ( t ) dt = - 6$ 이차함수 $f ( x )$의 최고차항의 계수를 $a$라 하면 $f ( x ) = ax ( x - 3 )$이고 $\displaystyle \int _{0} ^{3} f ( x ) dx$$\displaystyle = - \frac{a}{6} \cdot 3 ^{3} = - \frac{9 a}{2}$이므로 $\displaystyle - \frac{9 a}{2} = - 6$에서 $\displaystyle a = \frac{4}{3}$이다. ∴ $\displaystyle f ( x ) = \frac{4}{3} x ( x - 3 )$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{S ( x )}{x - 1}$$= S' ( 1 )$ (∵ $S ( 1 ) = 0$) $= f ( 1 )$$\displaystyle = \frac{4}{3} \cdot 1 \cdot ( 1 - 3 )$$\displaystyle = - \frac{8}{3}$ [참고] $\displaystyle \int _{\alpha} ^{\beta} a ( x - \alpha ) ( x - \beta ) dx$$\displaystyle = - \frac{a}{6} | \beta - \alpha | ^{3}$