미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

정적분 함수 부호

문제

함수 f(x)f ( x )를 f(x)={∣sin⁡x∣−sin⁡x(−72π≤x≤0)sin⁡x−∣sin⁡x∣(0≤x≤72π)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} | \sin x | - \sin x \left( - \frac{7}{2} \pi \leq x \leq 0 \right) \\ \\ \sin x - | \sin x | \left( 0 \leq x \leq \frac{7}{2} \pi \right) \end{cases}} 라 하자. 닫힌 구간 [−72π,72π]\displaystyle \left[ - \frac{7}{2} \pi , \frac{7}{2} \pi \right]에 속하는 모든 실수 xx에 대하여 ∫axf(t)dt≥0\displaystyle \int _{a} ^{x} f ( t ) dt \geq 0이 되도록 하는 실수 aa의 최솟값을 α,\alpha ,최댓값을 β\beta라 할 때, β−α\beta - \alpha의 값은? (단, −72π≤a≤72π\displaystyle - \frac{7}{2} \pi \leq a \leq \frac{7}{2} \pi) [4점] ①π2\displaystyle \frac{\pi}{2}②32π\displaystyle \frac{3}{2} \pi③52π\displaystyle \frac{5}{2} \pi④72π\displaystyle \frac{7}{2} \pi⑤92π\displaystyle \frac{9}{2} \pi

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①

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해설

f(x)f ( x )를 범위에 따라 정리해보면 f(x)={0(−7π2≤x≤−3π,−2π≤x≤−π,0≤x≤π,2π≤x≤3π)−2sin⁡x(−3π≤x≤−2π,−π≤x≤0)2sin⁡x(π≤x≤2π,3π≤x≤7π2)\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} 0 ( - \frac{7 \pi}{2} \leq x \leq - 3 \pi , - 2 \pi \leq x \leq - \pi , 0 \leq x \leq \pi , 2 \pi \leq x \leq 3 \pi ) \\ - 2 \sin x ( - 3 \pi \leq x \leq - 2 \pi , - \pi \leq x \leq 0 ) \end{aligned} \\ 2 \sin x ( \pi \leq x \leq 2 \pi , 3 \pi \leq x \leq \frac{7 \pi}{2} ) \end{cases}} 그래프는 다음과 같다.

모든 실수 xx에 대하여 ∫axf(t)dt≥0\displaystyle \int _{a} ^{x} {f ( t ) dt \geq 0}이 되도록 하는 실수 aa의 최솟값 α=\alpha =−72π\displaystyle - \frac{7}{2} \pi, 최댓값 β=\beta =−3π- 3 \pi ∴β−α=−3π−(−72π)=12π\displaystyle \therefore \beta - \alpha = - 3 \pi - \left( - \frac{7}{2} \pi \right) = \frac{1}{2} \pi

태그

#정적분#삼각함수

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