정적분 함수 보기

ㄱ. $x \leq 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) = 0$이므로 $x \leq 0$일 때, $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t ) f ( 1 - t ) dt}$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {0 \times f ( 1 - t )} dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{x} {0} dt = 0$ (참) ㄴ. $\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right) = \int _{0} ^{\frac{1}{2}} {f ( t ) f ( 1 - t )} dt$에서 $1 - t = s$라 하면 $\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right) = \int _{1} ^{\frac{1}{2}} {f ( 1 - s ) f ( s )} ( - ds )$ $\displaystyle = \int _{\frac{1}{2}} ^{1} {f ( s ) f ( 1 - s )} ds$$\displaystyle = \int _{\frac{1}{2}} ^{1} {f ( t ) f ( 1 - t )} dt$ 이므로 $\displaystyle g ( 1 ) = \int _{0} ^{1} {f ( t ) f ( 1 - t )} dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{1}{2}} {f ( t ) f ( 1 - t )} dt + \int _{\frac{1}{2}} ^{1} {f ( t ) f ( 1 - t )} dt$ $\displaystyle = g \left( \frac{1}{2} \right) + g \left( \frac{1}{2} \right) = 2 g \left( \frac{1}{2} \right)$ (참) ㄷ. $x \leq 0$일 때 $g ( x ) = 0$이고, $x \geq 1$일 때 $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t ) f ( 1 - t ) dt}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {f ( t ) f ( 1 - t ) dt} + \int _{1} ^{x} {f ( t ) f ( 1 - t ) dt}$ $= g ( 1 ) + 0 = g ( 1 )$ 한편, $0 < x < 1$일 때 $g' ( x ) = f ( x ) f ( 1 - x ) > 0$ 이므로 함수 $g ( x )$는 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 증가한다. 즉, $g ( a ) \leq g ( 1 )$이고 ㄴ에서 $\displaystyle g ( 1 ) = 2 g \left( \frac{1}{2} \right)$이므로 $\displaystyle g ( a ) \leq 2 g \left( \frac{1}{2} \right)$ 이때 곡선 $y = f ( x ) f ( 1 - x )$ 위의 점 $\displaystyle {\mathrm{A}} \left( \frac{1}{2} , \left\{ f \left( \frac{1}{2} \right) \right\} ^{2} \right)$에 대하여 선분 $\mathrm{OA}$를 대각선으로 하고 각 변이 $x$축 또는 $y$축에 수직인 직사각형의 넓이를 $S$라 하면 $\displaystyle 2 g \left( \frac{1}{2} \right) \leq 2 S$$\displaystyle \leq 2 \times \frac{1}{2} \times \left\{ f \left( \frac{1}{2} \right) \right\} ^{2}$$\leq ( \ln 2 ) ^{20} < 1$ 따라서 $g ( a ) \geq 1$을 만족시키는 실수 $a$는 존재하지 않는다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. [다른 풀이] ㄴ. $f ( t ) f ( 1 - t )$는 $\displaystyle t = \frac{1}{2}$에 대한 선대칭함수이다. 따라서 $\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{x} {f ( t ) f ( 1 - t ) dt}$는 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , g \left( \frac{1}{2} \right) \right)$에 대한 점대칭함수이다. ∴ $\displaystyle g ( 1 ) = 2 g \left( \frac{1}{2} \right)$ (참)