정적분 등식과 이차함수

[출제의도] 정적분의 성질 이해하기 $f \left( x \right) = 3 x ^{2} + ax + b$라 하자. $\displaystyle \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt = 2 x ^{3} + \int _{0} ^{- x} {} f \left( t \right) dt$에서 $2 x ^{3}$$\displaystyle = - \int _{0} ^{- x} {} f \left( t \right) dt + \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \int _{- x} ^{0} {} f \left( t \right) dt + \int _{0} ^{x} {} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \int _{- x} ^{x} {} f \left( t \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} + \frac{a}{2} t ^{2} + bt \end{array} \right] _{- x} ^{x}$ $= 2 x ^{3} + 2 bx$ 모든 실수 $x$에 대하여 $2 x ^{3} = 2 x ^{3} + 2 bx$이므로 $b = 0$이고, $f ( 1 ) = 3 + a + b = 5$에서 $a = 2$ 따라서 $f ( 2 ) = 12 + 2 a + b = 16$