정적분 최솟값

[출제의도] 정적분과 관련된 함수의 최솟값을 구할 수 있는가? $0 \leq a \leq 4$에서 $\displaystyle g ( a ) = \int _{a} ^{a + 4} {f ( x ) dx}$라 하자. (ⅰ) $a = 0$일 때, $\displaystyle g ( 0 ) = \int _{0} ^{4} {f ( x ) dx}$$\displaystyle = \int _{0} ^{4} {\left\{ - x \left( x - 4 \right) \right\} dx = \int _{0} ^{4} {\left( - x ^{2} + 4 x \right) dx}}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + 2 x ^{2} \right] _{0} ^{4} = \mathit{-} \frac{64}{3} + 32 = \frac{32}{3}$ (ⅱ) $0 < a < 4$일 때, $\displaystyle g ( a ) = \int _{a} ^{4} {f ( x ) dx + \int _{4} ^{a + 4} {f ( x ) dx}}$ $\displaystyle = \int _{a} ^{4} {\left\{ - x \left( x - 4 \right) \right\} dx + \int _{4} ^{a + 4} {\left( x - 4 \right) dx}}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{1}{3} x ^{3} + 2 x ^{2} \right] _{a} ^{4} + \left[ \frac{1}{2} x ^{2} - 4 x \right] _{4} ^{a + 4}$ $\displaystyle = \frac{32}{3} + \frac{1}{3} a ^{3} - 2 a ^{2} + \frac{1}{2} ( a + 4 ) ^{2} - 4 \left( a + 4 \right) - \left( 8 - 16 \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{3} a ^{3} - \frac{3}{2} a ^{2} + \frac{32}{3}$ (ⅲ) $a = 4$일 때, $\displaystyle g ( a ) = \int _{4} ^{8} {f ( x ) dx}$$\displaystyle = \int _{4} ^{8} {\left( x - 4 \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} x ^{2} - 4 x \right] _{4} ^{8} = 32 - 32 - \left( 8 - 16 \right) = 8$ $g' \left( a \right) = a ^{2} - 3 a = a \left( a - 3 \right)$이므로 $g' \left( a \right) = 0$에서 $0 < a < 4$이므로 $a = 3$ 함수 $g ( a )$의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $g ( a )$는 $a = 3$에서 최솟값 $\displaystyle g ( 3 ) = \frac{1}{3} \times 3 ^{3} - \frac{3}{2} \times 3 ^{2} + \frac{32}{3}$$\displaystyle = 9 - \frac{27}{2} + \frac{32}{3} = \frac{37}{6}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $g ( a )$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{37}{6}$이므로 $p = 6 , q = 37$ $\therefore p + q = 43$