정적분 방정식 실근 보기

[출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 함수를 추론한다. 함수 $f \left( x \right)$의 한 부정적분을 $F \left( x \right)$라 하면 주어진 방정식은 $\displaystyle \int _{t} ^{x} {} f \left( s \right) ds$$= F \left( x \right) - F \left( t \right)$$= 0$이므로 $F \left( x \right)$$= F \left( t \right)$이다. 따라서 $g \left( t \right)$는 곡선 $y$$= F \left( x \right)$와 직선 $y$$= F \left( t \right)$의 서로 다른 교점의 개수와 같다. ㄱ. $F' \left( x \right)$$= f \left( x \right)$$= x ^{2} \left( x - 1 \right)$ 함수 $F \left( x \right)$는 $x < 1$에서 감소, $x > 1$에서 증가하므로 $x$$= 1$에서 극소이면서 최소이다. 따라서 곡선 $y$$= F \left( x \right)$와 직선 $y$$= F \left( 1 \right)$은 오직 한 점에서 만나므로 $g \left( 1 \right)$$= 1$이다. (참) ㄴ. 방정식 $f \left( x \right)$$= 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$일 때, 함수 $F \left( x \right)$의 두 극솟값이 같은 경우와 두 극솟값이 다른 경우가 있다. 각 경우 곡선 $y$$= F \left( x \right)$와 직선 $y$$= F \left( a \right)$가 서로 다른 세 점에서 만나는 실수 $a$가 존재한다.

따라서 $g \left( a \right)$$= 3$인 실수 $a$가 존재한다. (참) ㄷ. 함수 $F \left( x \right)$가 극댓값을 갖지 않거나, 극댓값을 갖지만 두 극솟값의 크기가 다른 경우에는 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow b} {} g \left( t \right) + g \left( b \right)$$= 6$인 실수 $b$가 존재하지 않는다. 따라서 곡선 $y$$= F \left( x \right)$의 개형은 다음과 같고, $F \left( 0 \right)$$= F \left( 3 \right)$이다.

$f \left( 0 \right)$$= F' \left( 0 \right)$$= 0$이고, $f \left( 3 \right)$$= F' \left( 3 \right)$$= 0$이므로 $F \left( x \right) - F \left( 0 \right)$$\displaystyle = \frac{x ^{2} \left( x - 3 \right) ^{2}}{4}$$\displaystyle = \frac{x ^{4} - 6 x ^{3} + 9 x ^{2}}{4}$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f \left( x \right)$$\displaystyle = x ^{3} - \frac{9}{2} x ^{2} + \frac{9}{2} x$이므로 $f \left( 4 \right)$$= 64 - 72 + 18$$= 10$ (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.