공통수학1다항식의 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

전개식 계수의 합

문제

xx에 대한 다항식 (ax−1)3( ax - 1 ) ^{3}의 전개식에서 모든 항의 계수의 합이 6464일 때, 실수 aa의 값은? [3점] ①22②33③44④55⑤66

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해설

[출제의도] 다항식의 계수의 합 구하기 (ax−1)3=a3x3−3a2x2+3ax−1( ax - 1 ) ^{3} = a ^{3} x ^{3} - 3 a ^{2} x ^{2} + 3 ax - 1이므로 모든 항의 계수의 합은 a3−3a2+3a−1=64a ^{3} - 3 a ^{2} + 3 a - 1 = 64 ⇒ a3−3a2+3a−65=0a ^{3} - 3 a ^{2} + 3 a - 65 = 0 ⇒ (a−5)(a2+2a+13)=0( a - 5 ) ( a ^{2} + 2 a + 13 ) = 0 따라서, 만족하는 실수 a=5a = 5 [별해]다항식 f(x)f ( x )의 모든 항의 계수의 합은 f(1)f ( 1 )과 같으므로 (ax−1)3( ax - 1 ) ^{3}의　모든　항의　계수의　합은 (a−1)3( a - 1 ) ^{3}이다. (a−1)3=64( a - 1 ) ^{3} = 64 따라서, 만족하는 실수 a=5a = 5

태그

#계수의 합#항등식

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