정96각형 꼭짓점 좌표의 제곱합

${\mathrm{P}} _{n} ( a _{n} , b _{n} )$($n = 1$, $2$, ⋯, $96$)이라 하면 $\displaystyle \angle {\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{O}} {\mathrm{P}} _{n+1} = \frac{\pi}{48}$ ($n = 1$, $2$, ⋯, $95$)이다. 동경 $\mathrm{OP} _{\mathit{n}}$이 $x$축 양의 방향과 이루는 각을 $\theta _{n}$이라 하면 점 ${\mathrm{P}} _{n}$이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 점이므로 $a _{n}$$= \cos \theta _{n}$이다. 그런데 $\displaystyle \angle {\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{O}} {\mathrm{P}} _{n+48} = \frac{\pi}{48} \times 48 = \pi$이므로 $( a _{n+48} ) ^{2} = \cos ^{2} ( \theta _{n} + \pi ) = \cos ^{2} \theta _{n}$$= ( a _{n} ) ^{2}$이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{96} a _{n} ^{2}$$\displaystyle = 2 \sum\limits _{n=1} ^{48} a _{n} ^{2}$이다. 또한, $\displaystyle \angle {\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{O}} {\mathrm{P}} _{n+24} = \frac{\pi}{48} \times 24 = \frac{\pi}{2}$이므로 $( a _{n} ) ^{2} + ( a _{n+24} ) ^{2}$$\displaystyle = \cos ^{2} \theta _{n} + \cos ^{2} \left( \theta _{n} + \frac{\pi}{2} \right)$ $= \cos ^{2} \theta _{n} + \sin ^{2} \theta _{n}$$= 1$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{48} a _{n} ^{2}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{24} \left\{ ( a _{n} ) ^{2} + ( a _{n+24} ) ^{2} \right\}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{24} 1$$= 24$이다. ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{96} a _{n} ^{2}$$\displaystyle = 2 \sum\limits _{n=1} ^{48} a _{n} ^{2}$$= 2 \times 24$$= 48$