점화식과 로그

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용한 문제해결하기 $a _{n + 1} = 2 a _{n} + 1$에서 $a _{n+1} + 1 = 2 \left( a _{n} + 1 \right)$ $a _{n} + 1 = b _{n}$이라고 하면, 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 첫째항이 $a _{1} + 1 = 2$, 공비가 $2$인 등비수열이므로 $b _{n} = a _{n} + 1 = \left( a _{1} + 1 \right) 2 ^{n - 1} = 2 ^{n}$ 따라서 $\log _{4} \left( a _{20} + 1 \right) = \log _{4} 2 ^{20} = \log _{4} 4 ^{10} = 10$