점화식과 첫째항 범위

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기 조건 (나)에서 $a _{n}$이 홀수이고 $a _{n + 1}$이 홀수이면 $a _{n + 2}$는 짝수, $a _{n}$이 홀수이고 $a _{n + 1}$이 짝수이면 $a _{n + 2}$는 홀수, $a _{n}$이 짝수이고 $a _{n + 1}$이 홀수이면 $a _{n + 2}$는 홀수, $a _{n}$이 짝수이고 $a _{n + 1}$이 짝수이면 $a _{n + 2}$는 짝수이다. 조건 (가)에서 $a _{5}$가 홀수이므로 $a _{3}$과 $a _{4}$ 중 하나는 홀수, 다른 하나는 짝수이어야 한다. (ⅰ) $a _{3}$이 홀수이고 $a _{4}$가 짝수인 경우 $a _{2}$는 홀수이고 $a _{1}$은 짝수이다. $a _{1} = 2 k$, $a _{2} = 2 l - 1$ ($k$, $l$은 자연수)라 하면 조건 (나)에 의하여 $a _{1} \times a _{2}$는 짝수이므로 $a _{3} = 2 k + 2 l - 3$, $a _{2} \times a _{3}$은 홀수이므로 $a _{4} = 2 k + 4 l - 4$, $a _{3} \times a _{4}$는 짝수이므로 $a _{5} = 4 k + 6 l - 9$ $4 k + 6 l - 9 = 63$에서 $a _{1} = 2 k = 36 - 3 l$ 이므로 가능한 $a _{1}$의 값은 $6$, $12$, $18$, $24$, $30$이다. (ⅱ) $a _{3}$이 짝수이고 $a _{4}$가 홀수인 경우 $a _{2}$는 홀수이고 $a _{1}$도 홀수이다. $a _{1} = 2 p - 1 , a _{2} = 2 q - 1 ( p , q$는 자연수 $)$라 하면 조건 (나)에 의하여 $a _{1} \times a _{2}$는 홀수이므로 $a _{3} = 2 p + 2 q - 2$, $a _{2} \times a _{3}$은 짝수이므로 $a _{4} = 2 p + 4 q - 5$, $a _{3} \times a _{4}$는 짝수이므로 $a _{5} = 4 p + 6 q - 9$ $4 p + 6 q - 9 = 63$에서 $a _{1} = 2 p - 1 = 35 - 3 q$ 이므로 가능한 $a _{1}$의 값은 $5$, $11$, $17$, $23$, $29$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a _{1}$의 최댓값은 $\mathrm{30}$, 최솟값은 $\mathrm{5}$ 따라서 $M - m = 30 - 5 = 25$