점화식 일반항 빈칸

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항 구하는 과정을 증명한다. 주어진 식에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{2 n + 1} = a _{2 n} - 2 a _{2 n - 1}$ … ㉠ $a _{2 n + 2} = 6 a _{2 n + 1} - a _{2 n}$ … ㉡ $a _{2 n + 3} = a _{2 n + 2} - 2 a _{2 n + 1}$ … ㉢ 이므로 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하면 $a _{2 n + 3} = a _{2 n + 2} - 2 a _{2 n + 1}$ $= ( 6 a _{2 n + 1} - a _{2 n} ) - 2 a _{2 n + 1}$ $= 4 a _{2 n + 1} - ( a _{2 n + 1} + 2 a _{2 n - 1} )$ $= 3 a _{2 n + 1} - 2 a _{2 n - 1}$ 이다. 즉, $a _{2 n + 3} - a _{2 n + 1} = 2 ( a _{2 n + 1} - a _{2 n - 1} )$ $= 2 ^{n} ( a _{3} - a _{1} )$ 이고, ㉠에서 $a _{3} = a _{2} - 2 a _{1} = 3$이므로 $a _{3} - a _{1} = 2$ 따라서 $a _{2 n + 1} - a _{2 n - 1} = 2 ^{n}$ ($n \geq 1$) $\displaystyle a _{2 n - 1} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 2 ^{k}$ $\displaystyle = 1 + \frac{2 ( 2 ^{n - 1} - 1 )}{2 - 1}$ $= 2 ^{n} - 1$ ($n \geq 2$) 이고, $a _{1} = 1$이므로 $a _{2 n - 1} = 2 ^{n} - 1$($n \geq 1$) ㉠으로부터 $a _{2 n} = a _{2 n + 1} + 2 a _{2 n - 1}$ 이므로 $a _{2 n}$$= ( 2 ^{n + 1} - 1 ) + 2 ( 2 ^{n} - 1 )$ $= 2 ^{n + 2} - 3$ ($n \geq 1$) 이다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{2 n - 1} = 2 ^{n} - 1$, $a _{2 n} = 2 ^{n + 2} - 3$ 이다. (가)에 알맞은 식은 $2 ^{n}$이므로 $f ( n ) = 2 ^{n}$ (나)에 알맞은 식은 $2 ^{n} - 1$이므로 $g ( n ) = 2 ^{n} - 1$ (다)에 알맞은 식은 $2 ^{n+2} - 3$이므로 $h ( n ) = 2 ^{n + 2} - 3$ 따라서 $\displaystyle \frac{f ( 5 ) g ( 10 )}{h ( 10 ) - 1} = \frac{2 ^{5} ( 2 ^{10} - 1 )}{( 2 ^{12} - 3 ) - 1}$$\displaystyle = \frac{2 ^{5} ( 2 ^{10} - 1 )}{2 ^{2} ( 2 ^{10} - 1 )} = 8$