대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 일반항 빈칸

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=2a _{1} = 2이고 an+1=an−12an−1+1\displaystyle a _{n + 1} = \frac{a _{n} - 1}{2 a _{n} - 1} + 1 (n≥1n \geq 1) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여 an+1−1=an−12an−1\displaystyle a _{n + 1} - 1 = \frac{a _{n} - 1}{2 a _{n} - 1} 이므로 1an+1−1=1an−1+□(가)\displaystyle \frac{1}{a _{n + 1} - 1} = \frac{1}{a _{n} - 1} + \square {( \text{가} )} 이다. bn=1an−1\displaystyle b _{n} = \frac{1}{a _{n} - 1}이라 하면 bn+1=bn+□(가)b _{n+1} = b _{n} + \square {( \text{가} )} 이고, b1=1b _{1} = 1이므로 bn=□(나)b _{n} = \square {( \text{나} )} (n≥1n \geq 1) 이다. 따라서 an=1□(나)+1\displaystyle a _{n} = \frac{1}{{\square {( \text{나} )}}} + 1(n≥1n \geq 1)이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 kk, (나)에 알맞은 식을 f(n)f ( n )이라 할 때, f(k)f ( k )의 값은? [3점]

①33②66③99④1212⑤1515

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①

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해설

[출제의도] 수열의 일반항을 구하는 과정을 추론한다. 주어진 식에 의하여 an+1−1a _{n + 1} - 1=an−12an−1\displaystyle = \frac{a _{n} - 1}{2 a _{n} - 1} 이므로 1an+1−1\displaystyle \frac{1}{a _{n + 1} - 1}=2an−1an−1\displaystyle = \frac{2 a _{n} - 1}{a _{n} - 1}=1+2(an−1)an−1\displaystyle = \frac{1 + 2 ( a _{n} - 1 )}{a _{n} - 1}=1an−1+□2\displaystyle = \frac{1}{a _{n} - 1} + {\square {2}} 이다. bnb _{n}=1an−1\displaystyle = \frac{1}{a _{n} - 1}이라 하면 bn+1b _{n + 1}=bn+□2= b _{n} + {\square {2}} 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 b1b _{1}=1= 1이고, 공차가 22인 등차수열이다. bnb _{n}=□2n−1= {\square {2 n - 1}} (n≥1)( n \geq 1 ) 이다. 따라서 ana _{n}=1□2n−1+1\displaystyle = \frac{1}{{\square {2 n - 1}}} + 1(n≥1)( n \geq 1 )이다. 따라서 kk=2= 2, f(n)f ( n )=2n−1= 2 n - 1이므로 f(k)f ( k )=f(2)= f ( 2 )=3= 3

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#점화식#빈칸 추론

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