대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 일반항 빈칸

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=−49\displaystyle a _{1} = - \frac{4}{9}이고, 2nan+1−2n+1an=n(n≥1)2 ^{n} a _{n + 1} - 2 ^{n + 1} a _{n} = n \left( n \geq 1 \right) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

주어진 식 2nan+1−2n+1an=n2 ^{n} a _{n + 1} - 2 ^{n + 1} a _{n} = n의 양변을 22n+12 ^{2 n + 1}으로 나누면 an+12n+1−an2n=n22n+1\displaystyle \frac{a _{n + 1}}{2 ^{n + 1}} - \frac{a _{n}}{2 ^{n}} = \frac{n}{2 ^{2n+1}} (n≥1n \geq 1) 이므로 n≥2n \geq 2인 자연수 nn에 대하여 an2n=a12+∑k=1n−1k22k+1\displaystyle \frac{a _{n}}{2 ^{n}} = \frac{a _{1}}{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k + 1}}⋯⋯\cdots {\cdots}(*) 이다. 한편 ∑k=1n−1k22k+1=23(∑k=1n−1k22k−14∑k=1n−1k22k)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k + 1}} = \frac{2}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k}} - \frac{1}{4} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k}} \right) =23{(14+242+⋯+n−14n−1)−(142+243+⋯+n−14n)}\displaystyle = \frac{2}{3} \left\{ \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{4 ^{2}} + \cdots + \frac{n - 1}{4 ^{n - 1}} \right) - \left( \frac{1}{4 ^{2}} + \frac{2}{4 ^{3}} + \cdots + \frac{n - 1}{4 ^{n}} \right) \right\} =23(∑k=1n−114k−□(가)4n)\displaystyle = \frac{2}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{4 ^{k}} - {\square \frac{( \text{가} )}{4 ^{n}} )} \right. 이므로 (*)에 의하여 an=□(나)+2n+13(∑k=1n−114k−□(가)4n)\displaystyle a _{n} = {\square {( \text{나} )}} + \frac{2 ^{n + 1}}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{4 ^{k}} - \frac{\square {( \text{가} )}}{4 ^{n}} \right) =−3n+19⋅2n−1\displaystyle = - \frac{3 n + 1}{9 \cdot 2 ^{n - 1}} (n≥2n \geq 2) 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(10)×g(5){f ( 10 )} \times g ( 5 )의 값은? [4점] ①−64- 64②−56- 56③−48- 48④−40- 40⑤−32- 32

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①

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해설

∑k=1n−1k22k+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k + 1}}=23(∑k=1n−1k22k−14∑k=1n−1k22k)\displaystyle = \frac{2}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k}} - \frac{1}{4} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k}} \right) =23{(14+242+⋯+n−14n−1)−(142+243+⋯+n−14n)}\displaystyle = \frac{2}{3} \left\{ \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{4 ^{2}} + \cdots + \frac{n - 1}{4 ^{n - 1}} \right) - \left( \frac{1}{4 ^{2}} + \frac{2}{4 ^{3}} + \cdots + \frac{n - 1}{4 ^{n}} \right) \right\} =23(14+142+⋯+14n−1−n−14n)\displaystyle = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4 ^{2}} + \cdots + \frac{1}{4 ^{n - 1}} - \frac{n - 1}{4 ^{n}} \right) =23(∑k=1n−114k−n−14n)\displaystyle = \frac{2}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{4 ^{k}} - \frac{n - 1}{4 ^{n}} \right) 이때, an2n=a12+∑k=1n−1k22k+1\displaystyle \frac{a _{n}}{2 ^{n}} = \frac{a _{1}}{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k + 1}}의 양변에 2n2 ^{n}을 곱하면 ana _{n}=2n−1a1+2n∑k=1n−1k22k+1\displaystyle = 2 ^{n - 1} a _{1} + 2 ^{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{k}{2 ^{2 k + 1}} =2n−1a1+2n+13(∑k=1n−114k−n−14n)\displaystyle = 2 ^{n - 1} a _{1} + \frac{2 ^{n + 1}}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{4 ^{k}} - \frac{n - 1}{4 ^{n}} \right) =2n−1(−49)+2n+13(∑k=1n−114k−n−14n)\displaystyle = 2 ^{n - 1} \left( - \frac{4}{9} \right) + \frac{2 ^{n + 1}}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{4 ^{k}} - \frac{n - 1}{4 ^{n}} \right) =−2n+19+2n+13(∑k=1n−114k−n−14n)\displaystyle = - \frac{2 ^{n + 1}}{9} + \frac{2 ^{n + 1}}{3} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{1}{4 ^{k}} - \frac{n - 1}{4 ^{n}} \right) 따라서, f(n)=n−1f ( n ) = n - 1, g(n)=−2n+19\displaystyle g ( n ) = - \frac{2 ^{n + 1}}{9}이므로 f(10)×g(5)=9×(−269)\displaystyle f ( 10 ) \times g ( 5 ) = 9 \times \left( - \frac{2 ^{6}}{9} \right) =−64= - 64

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