점화식 일반항 빈칸

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기 주어진 식의 양변을 $2 ^{n}$으로 나누면 $2 ^{n} a _{n+1} = 2 ^{n-1} a _{n} + ( n + 1 )$ $\cdots \cdots$㉠ 이다. ㉠의 양변에 $2$를 곱하면 $2 ^{n + 1} a _{n + 1} = 2 ^{n} a _{n} + 2 ( n + 1 )$ 이고 $b _{n} = 2 ^{n} a _{n}$이라 하면 $b _{n + 1} = b _{n} + \square {2 \left( n + 1 \right) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}}$ ($n \geq 1$) 이고, $b _{1} = 2 \times a _{1} = 2$이므로 $\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 2 \left( k + 1 \right)$ $\displaystyle = 2 + 2 \times \frac{n \left( n - 1 \right)}{2} + 2 \left( n - 1 \right)$ $= \square {n ^{2} + n}$ ($n \geq 1$) 이다. 그러므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2 ^{n}} \times \left( \square {n ^{2} + n _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}} \right)$ ($n \geq 1$) 이다. $\therefore$ $f \left( n \right) = 2 n + 2$, $g \left( n \right) = n ^{2} + n$ 따라서 $f \left( 4 \right) + g \left( 6 \right) = 10 + 42 = 52$