대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 빈칸 추론

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=2a _{1} = 2이고 ann−an+1n+1=anan+1n+1\displaystyle \frac{a _{n}}{n} - \frac{a _{n + 1}}{n + 1} = \frac{a _{n} a _{n + 1}}{n + 1} (n≥1n \geq 1) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 모든 항이 00이 아니므로 ann−an+1n+1=anan+1n+1\displaystyle \frac{a _{n}}{n} - \frac{a _{n + 1}}{n + 1} = \frac{a _{n} a _{n + 1}}{n + 1} 을 변형하면 n+1an+1−nan=\displaystyle \frac{n + 1}{a _{n + 1}} - \frac{n}{a _{n}} = (가)

이다. bn=nan\displaystyle b _{n} = \frac{n}{a _{n}}이라 하면 b1=12\displaystyle b _{1} = \frac{1}{2}이고 bn+1−bn=b _{n + 1} - b _{n} = (가)

(n≥1n \geq 1) 이므로 an=a _{n} = (나)

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f ( n ), g(n)g ( n )이라 할 때, f(13)g(4)f ( 13 ) g ( 4 )의 값은? [4점] ①88②99③1010④1111⑤1212

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①

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해설

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 과정을 증명한다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 모든 항이 00이 아니므로 ann−an+1n+1=anan+1n+1\displaystyle \frac{a _{n}}{n} - \frac{a _{n + 1}}{n + 1} = \frac{a _{n} a _{n + 1}}{n + 1} 의 양변에 n(n+1)anan+1\displaystyle \frac{n \left( n + 1 \right)}{a _{n} a _{n + 1}}을 곱하면 n+1an+1−nan=\displaystyle \frac{n + 1}{a _{n + 1}} - \frac{n}{a _{n}} = nn

이다. bn=nan\displaystyle b _{n} = \frac{n}{a _{n}}이라 하면 b1=12\displaystyle b _{1} = \frac{1}{2}이고 bn+1−bn=b _{n + 1} - b _{n} = nn

(n≥1n \geq 1) 이므로 bn=12+∑k=1n−1k=12+n(n−1)2=n2−n+12\displaystyle b _{n} = \frac{1}{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} k = \frac{1}{2} + \frac{n ( n - 1 )}{2} = \frac{n ^{2} - n + 1}{2} an=nbn=\displaystyle a _{n} = \frac{n}{b _{n}} = 2nn2−n+1\displaystyle \frac{2 n}{n ^{2} - n + 1}

따라서 f(n)=nf \left( n \right) = n, g(n)=2nn2−n+1\displaystyle g ( n ) = \frac{2 n}{n ^{2} - n + 1}이다. ∴ f(13)g(4)=13×813=8\displaystyle f ( 13 ) g ( 4 ) = 13 \times \frac{8}{13} = 8

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