대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 빈칸 추론

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1이고 an+1=nan+6n+2\displaystyle a _{n + 1} = \frac{n a _{n} + 6}{n + 2} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여 (n+2)an+1=nan+6( n + 2 ) a _{n + 1} = n a _{n} + 6 이다. bn=n(n+1)anb _{n} = n ( n + 1 ) a _{n}이라 하면 bn+1=bn+□(가)b _{n + 1} = b _{n} + \square {{}^{(\text{가})}} 이고, b1=2b _{1} = 2이므로 bn=□(나)b _{n} = \square {{}^{(\text{나})}} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 이다. 따라서 an=□(나)n(n+1)\displaystyle a _{n} = \frac{\square {{}^{(\text{나})}}}{n ( n + 1 )} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 f(n),g(n)f ( n ) , g ( n )이라 할 때, f(4)+g(10)f ( 4 ) + g ( 10 )의 값은? [4점]

①356356②357357③358358④359359⑤360360

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①

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해설

[출제의도] 수열의 일반항을 추론한다. an+1=nan+6n+2\displaystyle a _{n + 1} = \frac{na _{n} + 6}{n + 2}의 양변에 (n+2)( n + 2 )를 곱하면 (n+2)an+1=nan+6( n + 2 ) a _{n + 1} = na _{n} + 6 이다. 다시 양변에 (n+1)( n + 1 )을 곱하면 (n+1)(n+2)an+1=n(n+1)an+6(n+1)( n + 1 ) ( n + 2 ) a _{n + 1} = n ( n + 1 ) a _{n} + 6 ( n + 1 ) 이다. bn=n(n+1)anb _{n} = n ( n + 1 ) a _{n}이라 하면 bn+1=bn+□6(n+1)b _{n + 1} = b _{n} + \square {6 ( n + 1 )} 이다. b1=2b _{1} = 2이고 bn+1−bn=6(n+1)b _{n + 1} - b _{n} = 6 ( n + 1 )이므로 bn=b1+∑k=1n−16(k+1)\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 6 ( k + 1 ) =2+6{n(n−1)2+(n−1)}\displaystyle = 2 + 6 \left\{ \frac{n ( n - 1 )}{2} + ( n - 1 ) \right\} =□3n2+3n−4= \square {3 n ^{2} + 3 n - 4} (n≥1n \geq 1) 이다. n(n+1)an=3n2+3n−4n ( n + 1 ) a _{n} = 3 n ^{2} + 3 n - 4이므로 an=□3n2+3n−4n(n+1)\displaystyle a _{n} = \frac{\square {3 n ^{2} + 3 n - 4}}{n ( n + 1 )} (n≥1n \geq 1) f(n)=6(n+1)f ( n ) = 6 ( n + 1 ), g(n)=3n2+3n−4g ( n ) = 3 n ^{2} + 3 n - 4이므로 f(4)+g(10)=30+326=356f ( 4 ) + g ( 10 ) = 30 + 326 = 356

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