대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 빈칸 채우기

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1이고 an+1=∑k=1n2n−kak(n≥1)\displaystyle a _{n+1} = \sum\limits _{k=1} ^{n} 2 ^{n-k} a _{k} ( n \geq 1 ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다. 주어진 식으로부터 a2=□(가)a _{2} = \square {( \text{가} )}이다. 자연수 nn에 대하여 an+2=∑k=1n+12n+1−kak=∑k=1n2n+1−kak+an+1=□(나)∑k=1n2n−kak+an+1=□(다)an+1\displaystyle \begin{aligned} a _{n+2} & = \sum\limits _{k=1} ^{n+1} 2 ^{n+1-k} a _{k} \\ & = \sum\limits _{k=1} ^{n} 2 ^{n+1-k} a _{k} + a _{n+1} \\ & = \square {( \text{나} )} \sum\limits _{k=1} ^{n} 2 ^{n-k} a _{k} + a _{n+1} \\ & = \square {( \text{다} )} a _{n+1} \end{aligned} 이다. 따라서 a1=1a _{1} = 1이고, n≥2n \geq 2일 때 an=(□(다))n−2a _{n} = \left( \square {( \text{다} )} \right) ^{n-2}이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p,q,rp , q , r라 할 때, p+q+rp + q + r의 값은? [3점] ①33②44③55④66⑤77

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

a1=1a _{1} = 1이고, an+1=∑k=1n2n−kak\displaystyle a _{n + 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 ^{n - k} a _{k} 먼저 n=1n = 1일때, a2=∑k=1121−kak=20a1=a1=1\displaystyle a _{2} = \sum\limits _{k = 1} ^{1} 2 ^{1 - k} a _{k} = 2 ^{0} a _{1} = a _{1} = 1 그러므로 (가)는 1이다. 자연수 nn으로부터, an+2=∑k=1n+12n+1−kak\displaystyle a _{n + 2} = \sum\limits _{k = 1} ^{n + 1} 2 ^{n + 1 - k} a _{k} =∑k=1n2n+1−kak+an+1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 ^{n + 1 - k} a _{k} + a _{n + 1} =2∑k=1n2n−kak+an+1\displaystyle = 2 \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 ^{n - k} a _{k} + a _{n + 1} (∵2n+1−k=2×2n−k2 ^{n + 1 - k} = 2 \times 2 ^{n - k}) 따라서, (나)는 2이다. 주어진 조건인 an+1=∑k=1n2n−kak\displaystyle a _{n + 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 ^{n - k} a _{k}으로부터, 2∑k=1n2n−kak+an+1\displaystyle 2 \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 ^{n - k} a _{k} + a _{n + 1}=2an+1+an+1=3an+1= 2 a _{n + 1} + a _{n + 1} = 3 a _{n + 1} 그러므로 (다)는 3이 된다. 따라서, (가)+(나)+(다)의 합은 6

태그

#수열의 귀납적 정의#빈칸 추론

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수학적 귀납법 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로