점화식 빈칸 채우기

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 $a _{1} = 10$이고, $\displaystyle a _{n + 1} = a _{1} + \frac{1}{2} a _{2} + \frac{1}{3} a _{3} + \cdots + \frac{1}{n} a _{n}$ ($n = 1 , 2 , 3 , \cdots$) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a _{n}$을 구하는 과정이다.

$n \geq 2$인 자연수 $n$에 대하여 $a _{n + 1} - a _{n}$$\displaystyle = \left( a _{1} + \frac{1}{2} a _{2} + \frac{1}{3} a _{3} + \cdots + \frac{1}{n} a _{n} \right)$ $\displaystyle - \left( a _{1} + \frac{1}{2} a _{2} + \frac{1}{3} a _{3} + \cdots + \frac{1}{n - 1} a _{n - 1} \right)$이므로 $a _{n + 1} =$ (가)

$\times a _{n}$이다.

$n = 2 , 3 , 4 , \cdots , n - 1$을 차례로 대입하면 $\displaystyle a _{3} = \frac{3}{2} a _{2}$ $\displaystyle a _{4} = \frac{4}{3} a _{3}$ $\vdots$ $\displaystyle a _{n} = \frac{n}{n - 1} a _{n - 1}$이므로 (나)

($n \geq 2$)

따라서 주어진 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항은 $a _{1} = 10$이고, $a _{n} =$ (나)

($n \geq 2$)

위의 (가)에 알맞은 식을 $f ( n )$, (나)에 알맞은 식을 $g ( n )$이라 할 때, $f \left( 5 \right) \times g \left( 10 \right)$의 값은? [4점] ①$60$②$75$③$90$④$105$⑤$120$