점과 직선 거리 함수

$y = x ^{3}$ 위의 점 중에서 접선의 기울기가 $1$인 점은 $3 x ^{2} = 1$에서 $\displaystyle x = - \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$일 때이고 $y = x + 6$과 $y = x ^{3}$의 교점은 $( 2 , 8 )$이다. $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ $y = x + 6$ $\displaystyle - \frac{1}{\sqrt{3}}$ $y = x ^{3}$

따라서, $g ( t )$ 식과 개형은 아래와 같다. $\displaystyle g ( t ) = \frac{1}{\sqrt{2}} {\left| t - t ^{3} + 6 \right|} = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} ( t - t ^{3} + 6 ) & & ( t \leq 2 ) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} ( t ^{3} - t - 6 ) & & ( t > 2 ) \end{cases}$

ㄱ. 모든 실수에 대해 연속(참)

ㄴ. $t \neq 2$인 모든 실수에서 함수 $g ( t )$의 도함수를 구하면 $\displaystyle g' ( t ) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} ( 1 - 3 t ^{2} ) & & ( t < 2 ) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} ( 3 t ^{2} - 1 ) & & ( t > 2 ) \end{cases}$ 이다. $\displaystyle t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$에서 $g' ( t ) = 0$이고 $\displaystyle t = - \frac{1}{\sqrt{3}}$에서 극솟값, $\displaystyle t = \frac{1}{\sqrt{3}}$에서 극댓값을 갖는다. 여기서 $\displaystyle g \left( - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \neq 0$이므로 $0$이 아닌 극솟값이 존재한다.(참)

ㄷ. $t = 2$에서의 좌미분계수와 우미분계수를 구해보면 각각 다음과 같다. $\displaystyle \lim\limits _{t\rightarrow 2-0} g' ( t ) = - \frac{11}{\sqrt{2}}$,$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 2 + 0} {} g' ( t ) = \frac{11}{\sqrt{2}}$ 이때, 두 값은 일치하지 않으므로 $t = 2$에서 미분가능하지 않다.(거짓)