미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점과 곡선 사이 거리의 최솟값

문제

점 A(1,0)A ( 1 , 0 )과 곡선 y=2−x2y = 2 - x ^{2}위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 AP\mathrm{AP}의 길이를 kk라 하자. k2k ^{2}의 최솟값은? [4점] ①5−332\displaystyle \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}②6+32\displaystyle \frac{6 + \sqrt{3}}{2}③11−634\displaystyle \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{4}④5+334\displaystyle \frac{5 + 3 \sqrt{3}}{4}⑤12−534\displaystyle \frac{12 - 5 \sqrt{3}}{4}

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③

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해설

f(x)f ( x )=AP‾\displaystyle = {\overline{AP}}=(x−1)2+(2−x2)2= ( x - 1 ) ^{2} + ( 2 - x ^{2} ) ^{2}=x4−3x2−2x+5= x ^{4} - 3 x ^{2} - 2 x + 5 f′(x)=4x3−6x−2=2(x+1)(2x2−2x−1)f' ( x ) = 4 x ^{3} - 6 x - 2 = 2 ( x + 1 ) ( 2 x ^{2} - 2 x - 1 ) 각각 극솟값, 극댓값, 극솟값을 갖는다 그림의 f(x)f ( x )의 그래프에서 구하는 최솟값은 x=1+32\displaystyle x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}일 때이므로 x−1=3−12\displaystyle x - 1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}, 2−x2=2−32\displaystyle 2 - x ^{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} (x−1)2+(2−x2)2( x - 1 ) ^{2} + ( 2 - x ^{2} ) ^{2} =(3−12)2+(2−32)2\displaystyle = \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \right) ^{2} 11−634\displaystyle \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{4}

태그

#거리의 최솟값#극값

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