대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점근선과 넓이

문제

양수 $p$ 에 대하여 두 함수 $f ( x ) = \log _{2} \left( x - p \right)$ , $g ( x ) = 2 ^{x} + 1$ 이 있다. 곡선 $y = f ( x )$ 의 점근선이 곡선 $y = g ( x )$ , $x$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} , B$ 라 하고, 곡선 $y = g ( x )$ 의 점근선이 곡선 $y = f ( x )$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $6$ 일 때, $p$ 의 값은? [3점] ① $2$ ② $\log _{2} 5$ ③ $\log _{2} 6$ ④ $\log _{2} 7$ ⑤ $3$

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②

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해설

[출제의도] 지수함수와 로그함수를 활용하여 문제 해결하기 두 곡선 $y = f ( x )$ , $y = g ( x )$ 의 점근선의 방정식은 각각 $x = p$ , $y = 1$ 이므로 $\mathrm{A} \left( \mathit{p} , 2 ^{p} + 1 \right)$ , $\mathrm{B} \left( \mathit{p} , 0 \right)$ , $\mathrm{C} \left( \mathit{p} + 2 , 1 \right)$ (삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이) $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 ^{p} + 1 \right) \times 2$ $= 2 ^{p} + 1$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 의 넓이가 $6$ 이므로 $2 ^{p} + 1 = 6$ , $2 ^{p} = 5$ 따라서 $p = \log _{2} 5$

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