대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

점근선 교점

문제

두 함수 $f ( x ) = 2 ^{x} - k$ , $g ( x ) = \log _{2} ( x - 2 k )$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 두 함수의 그래프의 점근선이 만나는 점의 좌표를 $\left( a , b \right)$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{2} k - 1$ 일 때, $2 a + b$ 의 값은? (단, $\displaystyle k > \frac{1}{2}$ ) [4점] ① $3$ ② $6$ ③ $9$ ④ $12$ ⑤ $15$

$y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$

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④

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 함수 $f ( x ) = 2 ^{x} - k$ 의 그래프의 점근선의 방정식이 $y = - k$ 이고, 함수 $g ( x ) = \log _{2} ( x - 2 k )$ 의 그래프의 점근선의 방정식이 $x = 2 k$ 이므로 두 점근선이 만나는 점의 좌표는 $\left( 2 k , - k \right)$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 k - 1$ 이므로 $\mathrm{(} \mathit{2} k + 1 ) - \log _{2} k$ $= 2 k - 1$ $\therefore k = 4$ 따라서 $a = 8$ , $b = - 4$ 이므로 $2 a + b = 12$

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