점 이동 규칙 넓이

[출제의도] 발견적 추론능력(추측)-수열 문제의 조건에 의하여 점 $P _{n}$의 좌표가 $( a , b )$이면 $n = a + b$이다. $\displaystyle b _{1} > \sqrt{a _{1}}$이므로 $P _{2}$의 좌표는 (1 , 1)이다. $\displaystyle b _{2} \leq \sqrt{a _{2}}$이므로 $P _{3}$의 좌표는 (1 , 2)이다. $\displaystyle b _{3} > \sqrt{a _{3}}$이므로 $P _{4}$의 좌표는 (2 , 2)이다. $\displaystyle b _{4} > \sqrt{a _{4}}$이므로 $P _{5}$의 좌표는 (3 , 2)이다. $\displaystyle b _{5} > \sqrt{a _{5}}$이므로 $P _{6}$의 좌표는 (4 , 2)이다. $\displaystyle b _{6} > \sqrt{a _{6}}$이므로 $P _{7}$의 좌표는 (4 , 3)이다. $\vdots$ 즉 자연수 $s$에 대하여 점 $P _{s ^{2} + s}$의 좌표는 $\left( s ^{2} , s \right)$이므로 $P _{12} ( 9 , 3 ) , P _{20} ( 16 , 4 ) , P _{30} ( 25 , 5 ) , P _{42} ( 36 , 6 ) , \cdots$ 이다.

자연수 $s \left( 1 \leq s \leq 9 \right)$에 대하여 직선 $x = s ^{2}$과 $x$축 및 100개의 선분 $OP _{1}$, $P _{1} P _{2}$, $P _{2} P _{3}$, $\cdots$, $P _{99} P _{100}$으로 이루어진 도형으로 둘러싸인 부분의 넓이 $S _{s ^{2}}$은 $S _{s ^{2}} = s ^{2} \times s - \left\{ 1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + ( s - 1 ) ^{2} \right\}$ $\displaystyle = s ^{3} - \frac{( s - 1 ) s ( 2 s - 1 )}{6} = \frac{s ( 4 s - 1 ) ( s + 1 )}{6}$ $\displaystyle S _{25} = \frac{5 \times 6 \times 19}{6} = 95$ 이므로 $S _{24} = 95 - 5 = 90 , S _{23} = 95 - 5 \times 2 = 85$ 이고, 11 이하의 자연수 $m$에 대하여 $S _{25 + m} = S _{25} + 6 m = 6 m + 95$ 가 성립한다. $6 m + 95 \leq 150$에서 $6 m \leq 55$, $\displaystyle m \leq \frac{55}{6} = 9. \times \times \times$ 이므로 부등식 $90 \leq S _{k} \leq 150$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수는 24, 25, 26, $\cdots$, 34 의 11이다.