절편 길이와 넓이로 일반형 계수 구하기

직선 $ax + by + 4 = 0$에서 $y = 0$이면 $\displaystyle x = - \frac{4}{a}$, $x = 0$이면 $\displaystyle y = - \frac{4}{b}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \mathit{p}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \mathit{q}$라 하면 $a > 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle p = \frac{4}{a}$, $\displaystyle q = \frac{4}{b}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이가 $6$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} pq = 6$, $pq = 12$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{5}$이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 25$ $\left( p + q \right) ^{2} = p ^{2} + q ^{2} + 2 pq = 25 + 24 = 49$이고 $p + q > 0$이므로 $p + q = 7$ $p$, $q$는 $t ^{2} - 7 t + 12 = 0$의 두 근이므로 $\left( p , q \right) = \left( 3 , 4 \right)$ 또는 $\left( 4 , 3 \right)$ $\displaystyle a = \frac{4}{p}$, $\displaystyle b = \frac{4}{q}$이므로 어느 경우든 $\displaystyle a + b = \frac{4}{3} + 1 = \frac{7}{3}$ 따라서 $\displaystyle a + b = \frac{7}{3}$ ②