절댓값이 든 점화식

$a _{1} = 3$이므로 $a _{2} = a _{1} - 10 + k = k - 7$ (ⅰ) $a _{2} < 0$인 경우, $k - 7 < 0$에서 $k < 7$ $a _{3} = \left| a _{2} + 2 \right| = \left| k - 5 \right|$ $a _{3} \geq 0$이므로 $a _{4} = a _{3} - 10 + k = \left| k - 5 \right| - 10 + k$ ① $k < 5$일 때 $a _{4} = - \left( k - 5 \right) - 10 + k = - 5$ $a _{5} = \left| a _{4} + 4 \right| = 1$이므로 $a _{4} \times a _{5} = 0$을 만족하는 $k$의 값은 존재하지 않는다. ② $5 \leq k < 7$일 때 $a _{4} = \left( k - 5 \right) - 10 + k = 2 k - 15$에서 $- 5 \leq 2 k - 15 < - 1$ $a _{5} = \left| a _{4} + 4 \right| = \left| \left( 2 k - 15 \right) + 4 \right| = \left| 2 k - 11 \right|$ $a _{4} \neq 0$이므로 $a _{5} = 0$이어야 한다. $\left| 2 k - 11 \right| = 0$에서 $\displaystyle k = \frac{11}{2}$ (ⅱ) $a _{2} \geq 0$인 경우, $k - 7 \geq 0$에서 $k \geq 7$ $a _{3} = a _{2} - 10 + k = 2 k - 17$ ① $\displaystyle 7 \leq k < \frac{17}{2}$일 때 $a _{3} < 0$이므로 $a _{4} = \left| a _{3} + 3 \right| = \left| \left( 2 k - 17 \right) + 3 \right| = 2 k - 14$ $a _{4} \geq 0$이므로 $a _{5} = a _{4} - 10 + k = \left( 2 k - 14 \right) - 10 + k = 3 k - 24$ $a _{4} \times a _{5} = \left( 2 k - 14 \right) \left( 3 k - 24 \right) = 0$이어야 하므로 $k = 7$ 또는 $k = 8$ ② $\displaystyle k \geq \frac{17}{2}$일 때 $a _{3} \geq 0$이므로 $a _{4} = a _{3} - 10 + k = \left( 2 k - 17 \right) - 10 + k = 3 k - 27$ $\displaystyle \frac{17}{2} \leq k < 9$일 때, $a _{4} < 0$이므로 $a _{5} = \left| a _{4} + 4 \right| = \left| \left( 3 k - 27 \right) + 4 \right| = 3 k - 23$이고, $\displaystyle \frac{5}{2} \leq a _{5} < 4$ 그러므로 $a _{4} \times a _{5} = 0$을 만족하는 $k$의 값은 존재하지 않는다. $k \geq 9$일 때, $a _{4} \geq 0$이므로 $a _{5} = a _{4} - 10 + k = \left( 3 k - 27 \right) - 10 + k = 4 k - 37$ $a _{4} \times a _{5} = \left( 3 k - 27 \right) \left( 4 k - 37 \right) = 0$이어야 하므로 $k = 9$ 또는 $\displaystyle k = \frac{37}{4}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 $k$의 값은 $\displaystyle \frac{11}{2}$, $7$, $8$, $9$, $\displaystyle \frac{37}{4}$이므로 $\displaystyle M = \frac{37}{4}$, $\displaystyle m = \frac{11}{2}$에서 $\displaystyle M + m = \frac{59}{4}$ 따라서 $p = 4$, $q = 59$이므로 $p + q = 63$