절댓값과 적분함수의 미분가능성, a+b의 최댓값

함수 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{2} - 1 & & \left( x < 1 \right) \\ a - a \left| x - 2 \right| & & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \left( x ^{2} - 1 \right)$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \left( a - a \left| x - 2 \right| \right)$$= 0$ $f \left( 1 \right) = 0$ 즉, 함수 $f ( x )$는 $x = 1$에서 연속이므로 $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 따라서 함수 $\displaystyle \int _{b} ^{x} {} f \left( t \right) dt$는 미분가능한 함수이다. $\displaystyle \int _{b} ^{x} {} f \left( t \right) dt = F \left( x \right)$라 하자. $F \left( b \right) = 0$, $F' \left( x \right) = f \left( x \right)$ 이므로 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = \left| x \left( x - 2 \right) \right| \int _{b} ^{x} {} f \left( t \right) dt$에서 $g \left( x \right) = \left| x \left( x - 2 \right) \right| F \left( x \right)$ 이다. $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} x \left( x - 2 \right) F \left( x \right) & & \left( x < 0 \right) \\ x \left( 2 - x \right) F \left( x \right) & & \left( 0 \leq x < 2 \right) \\ x \left( x - 2 \right) F \left( x \right) & & \left( x \geq 2 \right) \end{cases}}$ 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = 0$, $x = 2$에서 미분가능하다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{x \left( x - 2 \right) F \left( x \right)}{x}$$= - 2 F \left( 0 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{x \left( 2 - x \right) F \left( x \right)}{x}$$= 2 F \left( 0 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$이므로 $- 2 F \left( 0 \right) = 2 F \left( 0 \right)$, $F \left( 0 \right) = 0$, $\displaystyle \int _{b} ^{0} {} f \left( t \right) dt = 0$ $\therefore$ $\displaystyle \int _{0} ^{b} {} f \left( t \right) dt = 0$ $x = 2$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{x \left( 2 - x \right) F \left( x \right)}{x - 2}$$= - 2 F \left( 2 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} \frac{x \left( x - 2 \right) F \left( x \right)}{x - 2}$$= 2 F \left( 2 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 2 \right)}{x - 2}$이므로 $- 2 F \left( 2 \right) = 2 F \left( 2 \right)$, $F \left( 2 \right) = 0$, $\displaystyle \int _{b} ^{2} {} f \left( t \right) dt = 0$ $\therefore$ $\displaystyle \int _{2} ^{b} {} f \left( t \right) dt = 0$ $\displaystyle \int _{0} ^{b} {} f \left( t \right) dt = 0$, $\displaystyle \int _{b} ^{2} {} f \left( t \right) dt = 0$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {} f \left( t \right) dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{b} {} f \left( t \right) d + \int _{b} ^{2} {} f \left( t \right) dt$$= 0$ 이다.

$\displaystyle \int _{0} ^{2} {} f \left( t \right) dt = 0$이므로 위의 그림에서 두 영역 $A$, $B$의 넓이가 같다. $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times 2 ^{3} = \frac{a}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{4}{3}$ 위의 그림에서 색칠한 네 영역 $A$, $B$, $C$, $D$의 넓이가 같으므로 $\displaystyle \int _{2} ^{b} {} f \left( t \right) dt = 0$이고, $b > 0$인 실수 $b$는 $b = 2$ 또는 $b = 4$ 따라서 $a + b$의 최댓값은 $\displaystyle a = \frac{4}{3}$, $b = 4$일 때 $\displaystyle \frac{16}{3}$이다.