절댓값 유리함수 교점

[출제의도] 수학 내적 문제 해결능력-함수 (ⅰ) $x \geq k$일 때 $\displaystyle y = \frac{kx + 1}{\left| x - k \right|} = \frac{kx + 1}{x - k} = k + \frac{1 + k ^{2}}{x - k}$ $1 + k ^{2} > 0$이고 점근선은 $x = k , y = k$이다. (ⅱ) $x < k$일 때 $\displaystyle y = \frac{kx + 1}{\left| x - k \right|} = \frac{kx + 1}{- x + k} = - k + \frac{- 1 - k ^{2}}{x - k}$ $- 1 - k ^{2} < 0$이고 점근선은 $x = k , y = - k$이다. 이상에서 함수 $\displaystyle y = \frac{kx + 1}{\left| x - k \right|}$의 그래프는 그림과 같다.

[그림1]에서 곡선 $\displaystyle y = \frac{kx + 1}{\left| x - k \right|}$과 직선 $y = n$이 한 점에서 만나도록 하는 정수 $n$의 값의 범위는 $- k < n \leq k$ $f ( k ) = k - ( - k ) = 2 k = 10$ 즉, $k = 5$ [그림2]에서 곡선 $\displaystyle y = \frac{kx + 1}{\left| x - k \right|}$과 직선 $y = n$이 한 점에서 만나도록 하는 정수 $n$의 값의 범위는 $k < n \leq - k$ $f ( k ) = - k - k = - 2 k = 10$ 즉, $k = - 5$ 따라서 구하는 모든 정수 $k$의 값의 곱은 $( - 5 ) \times 5 = - 25$