절댓값 삼차함수와 도함수의 미분불가능 개수

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f ( x )$에 대하여 함수 $g \left( x \right) = \left| f \left( x \right) \right| - f' \left( x \right)$이다. 양변에 $x = 0$을 대입하면 $g \left( 0 \right) = \left| f \left( 0 \right) \right| - f' \left( 0 \right)$ $g ( 0 ) = f ( 0 ) = 1$이므로 $f' \left( 0 \right) = 0$ 방정식 $\left| f \left( x \right) \right| = 3$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이므로 $f \left( x \right) = - 3$, $f \left( x \right) = 3$인 실수 $x$의 개수는 각각 $1$, $2$ 또는 $2$, $1$이다. 즉, 삼차함수 $f ( x )$의 한 극값은 $- 3$ 또는 $3$이다. $f \left( 0 \right) = 1$, $f' \left( 0 \right) = 0$이므로 함수 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극값 $1$을 갖는다. 함수 $f' \left( x \right)$는 미분가능한 함수이고, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 세 점에서 미분가능하지 않으므로 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프는 세 점에서 미분가능하지 않다. 함수 $\left| f \left( x \right) \right|$가 $x = k$에서 미분가능하지 않으면 $f \left( k \right) = 0$, $f' \left( k \right) \ne 0$ 즉, 곡선 $y = f \left( x \right)$는 $x$축과 세 점에서 만난다. 따라서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = 1$의 교점 중에서 점 $\left( 0 , 1 \right)$이 아닌 교점의 $x$좌표를 $a$라 하면 $f \left( x \right) = x ^{2} \left( x - a \right) + 1$ $f' \left( x \right) = 2 x \left( x - a \right) + x ^{2} = x \left( 3 x - 2 a \right)$ 방정식 $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{2 a}{3}$ $\displaystyle f \left( \frac{2 a}{3} \right) = - 3$이므로 $\displaystyle \left( \frac{2 a}{3} \right) ^{2} \times \left( - \frac{a}{3} \right) + 1 = - 3$, $a = 3$ $\therefore$ $f \left( x \right) = x ^{2} \left( x - 3 \right) + 1$, $f' \left( x \right) = 3 x \left( x - 2 \right)$ 따라서 $g \left( 1 \right) = \left| f \left( 1 \right) \right| - f' \left( 1 \right) = 4$