절댓값 사인함수 최댓값

함수 $\displaystyle y = 2 \sin \frac{\pi}{k} x$의 주기가 $2 k$이고, $\displaystyle - 2 \leq 2 \sin \frac{\pi}{k} x \leq 2$이므로 $\displaystyle - \frac{3}{2} \leq 2 \sin \frac{\pi}{k} x + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}$ 한편 $k > 1$이므로 $3 k > 2 k + 1$이고 $0 \leq x \leq 2 k + 1$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$0 \leq t < k$ 또는 $t > 2 k - 1$이면 $t \leq x \leq t + 1$에서 $\displaystyle f \left( x \right) > \frac{1}{2}$인 $x$의 값이 존재하므로 $f ( x )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$보다 크다. $t = \alpha$, $t = \beta$일 때 $t \leq x \leq t + 1$에서 함수 $f ( x )$의 최댓값이 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $k \leq \alpha < \beta \leq 2 k - 1$ 한편 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2}$, 즉 $\displaystyle \left| 2 \sin \frac{\pi}{k} x + \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{k} x = 0$ 또는 $\displaystyle \sin \frac{\pi}{k} x = - \frac{1}{2}$이므로 $k \leq x \leq 2 k$에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2}$의 해는 $x = k$ 또는 $x = 2 k$ 또는 $\displaystyle x = \frac{7}{6} k$ 또는 $\displaystyle x = \frac{11}{6} k$이다. 따라서 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$이 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 만나는 점의 $x$좌표는 $k$, $\displaystyle \frac{7}{6} k$, $\displaystyle \frac{11}{6} k$, $2 k$이다. $\displaystyle \frac{7}{6} k - k = 2 k - \frac{11}{6} k = \frac{k}{6}$이고 $t \leq x \leq t + 1$에서 $( t + 1 ) - t = 1$이므로 다음과 같은 세 가지 경우로 나눌 수 있다. (ⅰ) $\displaystyle \frac{k}{6} > 1$일 때, $k \leq x \leq k + 1$에서 $\displaystyle f ( x ) \leq f ( k ) = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{7}{6} k - 1 \leq x \leq \frac{7}{6} k$에서 $\displaystyle f ( x ) \leq f \left( \frac{7}{6} k \right) = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{11}{6} k \leq x \leq \frac{11}{6} k + 1$에서 $\displaystyle f ( x ) \leq f \left( \frac{11}{6} k \right) = \frac{1}{2}$, $2 k - 1 \leq x \leq 2 k$에서 $\displaystyle f ( x ) \leq f ( 2 k ) = \frac{1}{2}$이므로 $t \leq x \leq t + 1$에서 $f ( x )$의 최댓값이 $\displaystyle \frac{1}{2}$이 되도록 하는 서로 다른 $t$의 값은 $k$, $\displaystyle \frac{7}{6} k - 1$, $\displaystyle \frac{11}{6} k$, $2 k - 1$이다. 따라서 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle \frac{k}{6} = 1$일 때, $k = 6$, $\displaystyle \frac{7}{6} k = 7$, $\displaystyle \frac{11}{6} k = 11$, $2 k = 12$이므로 $6 \leq x \leq 7$에서 $\displaystyle f ( x ) \leq f ( 6 ) = \frac{1}{2}$, $11 \leq x \leq 12$에서 $\displaystyle f ( x ) \leq f ( 11 ) = \frac{1}{2}$ 따라서 $t \leq x \leq t + 1$에서 $f ( x )$의 최댓값이 $\displaystyle \frac{1}{2}$이 되도록 하는 모든 $t$의 값은 $\mathrm{6}$, $\mathrm{11}$이다. (ⅲ) $\displaystyle \frac{k}{6} < 1$일 때, $\displaystyle k + 1 > \frac{7}{6} k$, $\displaystyle \frac{7}{6} k - 1 < k$, $\displaystyle \frac{11}{6} k + 1 > 2 k$, $\displaystyle 2 k - 1 < \frac{11}{6} k$이므로 $t \leq x \leq t + 1$에서 $f ( x )$의 최댓값이 $\displaystyle \frac{1}{2}$이 되도록 하는 $t$의 값은 존재하지 않는다. 따라서 조건을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $k = 6$, $\alpha = 6$, $\beta = 11$이므로 $k \alpha + \beta = 6 \times 6 + 11 = 47$