절댓값 사차함수와 극한

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수를 추론한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{\left| x - k \right|}}$의 값이 존재할 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{\left| x - k \right|}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{\left| x - k \right|}}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{\left| x - k \right|}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\left( \frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k} \times \frac{x - k}{\left| x - k \right|} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k} \times \left( - 1 \right)}$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k +} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{\left| x - k \right|}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {\left( \frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k} \times \frac{x - k}{\left| x - k \right|} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow k +} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k} \times 1}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠과 ㉡이 같아야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k}} = 0$이거나 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k -} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k}}$와 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow k +} {\frac{g ( x ) - g ( k )}{x - k}}$의 절댓값이 같고 부호가 반대이어야 한다. 따라서 $g' ( k ) = 0$ 즉, $f' ( k ) = 0$이거나 $g ( k ) = 0$ 즉, $f ( k ) = t$이다. 방정식 $f' ( x ) = 0$의 서로 다른 실근의 개수에 따라 다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다. (ⅰ) $f' ( x ) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $1$인 경우

함수 $h ( t )$가 불연속이 되는 실수 $t$가 오직 하나만 존재하므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다. (ⅱ) $f' ( x ) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$인 경우

함수 $h ( t )$가 $t = \mathit{-} 60$과 $t = 4$에서 불연속이므로 $f' ( \alpha ) = 0$일 때 $f ( \alpha )$의 값은 $- 60$과 $4$이다. 이때 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 4 +} {h ( t )}$$= 4$가 되어 조건 (가)를 만족시키지 못한다. (ⅲ) $f' ( x ) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$인 경우

[그림 1]

[그림 2]

[그림 1]과 같이 두 극솟값의 크기가 다르면 함수 $h ( t )$가 불연속이 되는 서로 다른 실수 $t$가 $3$개 존재하므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다. [그림 2]와 같이 두 극솟값의 크기가 같은 경우 조건 (나)를 만족시키고, 함수 $f ( x )$의 극댓값이 $4$이면 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 4 +} {h ( t ) = 5}$이므로 조건 (가)를 만족시킨다. 이때 $h ( 4 ) = 5$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 사차함수 $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$이고 두 극솟값은 모두 $- 60$, 극댓값은 $4$이다. $f ( 2 ) = 4$이고 $f' ( 2 ) > 0$이므로 방정식 $f ( x ) = 4$의 가장 큰 실근이 $2$가 된다. 함수 $f ( x )$의 그래프를 극대인 점이 원점에 오도록 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 $p ( x )$라 하면, $p ( 0 ) = 0$이고 $p' ( 0 ) = 0$이므로 $p ( x )$는 $x ^{2}$을 인수로 갖는다. 또한 함수 $p ( x )$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 양수 $a$에 대하여 $p ( a ) = p \left( - a \right) = 0$이라 하면 $p ( x )$$= x ^{2} \left( x - a \right) \left( x + a \right)$$= x ^{4} - a ^{2} x ^{2}$ $p' ( x )$$= 4 x ^{3} - 2 a ^{2} x$$= 2 x \left( 2 x ^{2} - a ^{2} \right)$ 이므로 $p' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{a}{\sqrt{2}}$ 또는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a}{\sqrt{2}}$ $\displaystyle p \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$$\displaystyle = p \left( - \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$$= \mathit{-} 64$이므로 $\displaystyle p \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$$\displaystyle = \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) ^{4} - a ^{2} \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right) ^{2}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{a ^{4}}{4}$$= \mathit{-} 64$ 즉, $a ^{4} = 256 = 4 ^{4}$이므로 $a = 4$이다. 이때 $p ( x )$$= x ^{2} \left( x - 4 \right) \left( x + 4 \right)$ 방정식 $p ( x ) = 0$의 가장 큰 실근이 $4$이므로 함수 $y = p ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하면 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 일치한다. 따라서 $f ( x ) = \left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - 2 \right) \left( x + 6 \right) + 4$ $f ( 4 ) = 724$, $h ( 4 ) = 5$이므로 $f ( 4 ) + h ( 4 )$$= 724 + 5$$= 729$