절댓값 로그 방정식 근의 비

함수 $y = | \log _{10} x |$와 $y = ax + b$의 그래프를 방정식 $| \log _{10} x | = ax + b$의 세 실근의 비가 $1 : 2 : 3$가 되도록 그려보면 아래와 같다.

세 실근의 비가 $1 : 2 : 3$이므로 세 실근을 $\alpha , 2 \alpha , 3 \alpha ( \alpha > 0 )$라 하자. $\alpha$는 $y = - \log _{10} x$와 $y = ax + b$의 교점의 $x$좌표이고,$2 \alpha$와 $3 \alpha$는 $y = \log _{10} x$와 $y = ax + b$의 교점의 $x$좌표들이다. 따라서 $- \log _{10} \alpha = a \alpha + b$…①, $\log _{10} 2 \alpha = 2 a \alpha + b$… ②, $\log _{10} 3 \alpha = 3 a \alpha + b$… ③ 을 얻을 수 있다. ②- ① : $\log _{10} 2 \alpha ^{2} = a \alpha$… ④ ③- ① : $\log _{10} 3 \alpha ^{2} = 2 a \alpha$… ⑤ ④와 ⑤에서 $2 \log _{10} 2 \alpha ^{2} = \log _{10} 3 \alpha ^{2}$을 얻을 수 있다. 따라서 $4 \alpha ^{4} = 3 \alpha ^{2}$이 된다. $\alpha > 0$이므로 $\displaystyle \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$이 된다. ∴세 실근은 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} , \sqrt{3} , \frac{3 \sqrt{3}}{2}$이므로, 그 합은 $\displaystyle 3 \sqrt{3}$ 이다.