절댓값 포함 이차식 최대최소

[출제의도] 이차함수의 최대와 최소를 이용하여 추론하기 (ⅰ) $- 1 \leq x \leq 2$일 때 $f \left( x \right) \times f \left( \left| x - 2 \right| \right)$ $= f \left( x \right) \times f \left( - x + 2 \right)$ $= \left( x - 3 \right) \left( - x - 1 \right)$ $= \mathit{-} x ^{2} + 2 x + 3$ $= \mathit{-} \left( x - 1 \right) ^{2} + 4$ 이므로 함수 $f \left( x \right) \times f \left( \left| x - 2 \right| \right)$는 $x = 1$일 때 최댓값 $4$, $x = \mathit{-} 1$일 때 최솟값 $0$을 갖는다. (ⅱ) $2 \leq x \leq 5$일 때 $f \left( x \right) \times f \left( \left| x - 2 \right| \right)$ $= f \left( x \right) \times f \left( x - 2 \right)$ $= \left( x - 3 \right) \left( x - 5 \right)$ $= x ^{2} - 8 x + 15$ $= \left( x - 4 \right) ^{2} - 1$ 이므로 함수 $f \left( x \right) \times f \left( \left| x - 2 \right| \right)$는 $x = 2$일 때 최댓값 $3$, $x = 4$일 때 최솟값 $- 1$을 갖는다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $- 1 \leq x \leq 5$에서 함수 $f \left( x \right) \times f \left( \left| x - 2 \right| \right)$의 최댓값과 최솟값의 합은 $4 + \left( - 1 \right) = 3$