절댓값 포함 함수 적분

[출제의도] 함수의 극대와 극소를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 (ⅰ) $f ( x ) < k$일 때, 함수 $\displaystyle g ( x ) = \frac{k}{2}$ (ⅱ) $f ( x ) \geq k$일 때, 함수 $\displaystyle g ( x ) = f ( x ) - \frac{k}{2}$이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $\displaystyle - \frac{k}{2}$만큼 평행이동시킨 그래프이다. (가), (나)에 의하여 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프와 두 직선 $y = k$, $\displaystyle y = \frac{k}{2}$의 개형은 다음과 같다.

$y = f ( x )$ $y = g ( x )$ $\displaystyle y = \frac{k}{2}$

$\displaystyle \int _{0} ^{2} {\left. \left| f \left( x \right) - g \left( x \right) \right| dx = \int _{0} ^{2} {\frac{k}{2} dx} \right. = 8}$ 이므로 $k = 8$ 그러므로 세 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 함수 $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$라 하면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$이다. $f ( 0 ) = 8$, $f ( 2 ) = 8$, $f' ( 2 ) = 0$이므로 $c = 8$, $4 a + 2 b + c = 0$, $12 + 4 a + b = 0$이고 $a = - 4$, $b = 4$ 함수 $f ( x ) = x ^{3} - 4 x ^{2} + 4 x + 8$이므로 함수 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} 4 & ( x < 0 ) \\ x ^{3} - 4 x ^{2} + 4 x + 4 & ( x \geq 0 ) \end{cases}}$ 따라서 $g \left( 1 \right) + g \left( - 1 \right) = 5 + 4 = 9$