절댓값 미분가능

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 $f' \left( x \right) = 1 - \sin x \geq 0$이므로 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다. 함수 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 $f \left( x \right) = k$인 $x$에서 $f' \left( x \right) = 0$이어야 한다. $f' \left( x \right) = 0$의 해가 $\displaystyle x = 2 n \pi + \frac{\pi}{2}$($n$은 정수)이므로 $\displaystyle k = f \left( 2 n \pi + \frac{\pi}{2} \right) = 2 n \pi + \frac{3}{4} \pi$ $0 < k < 6 \pi$이므로 $\displaystyle k = \frac{3}{4} \pi$ 또는 $\displaystyle k = \frac{11}{4} \pi$ 또는 $\displaystyle k = \frac{19}{4} \pi$ $\therefore$ $k$의 값의 합은 $\displaystyle \frac{33}{4} \pi$이므로 $p = 4$, $q = 33$ 따라서 $p + q = 37$