절댓값 미분불가능 조건

[출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기 조건 (가)에서 $f \left( 0 \right) = 27$, $f' \left( 0 \right) = 0$ 함수 $h \left( x \right) = f \left( x \right) - g \left( x \right)$라 할 때, 조건 (나), (다)에서 함수 $h \left( x \right)$의 그래프는 점 $\left( - 3 , 0 \right)$을 지나고 $x = a$($a \neq - 3$)에서 $x$축과 접한다. 따라서 $h \left( x \right) = \left( x + 3 \right) \left( x - a \right) ^{2}$ $f \left( 0 \right) = 27$, $g \left( 0 \right) = 0$이므로 $h \left( 0 \right) = f \left( 0 \right) - g \left( 0 \right)$ $3 a ^{2} = 27$, $a = 3$ ($\because$ $a \neq - 3$) $\therefore$ $h \left( x \right) = f \left( x \right) - g \left( x \right) = \left( x + 3 \right) \left( x - 3 \right) ^{2}$$= x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + 27$ $h' \left( x \right) = f' \left( x \right) - g' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 6 x - 9$ $f' \left( 0 \right) = 0$이므로 $f' \left( 0 \right) - g' \left( 0 \right) = - 9$ $\therefore$ $g' \left( 0 \right) = 9$ $y = g \left( x \right)$는 원점을 지나는 직선이므로 $g \left( x \right) = 9 x$ $f \left( x \right) - g \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} - 9 x + 27$에서 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x ^{2} + 27$ $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 6 x = 3 x \left( x - 2 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$ 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극솟값 $23$을 갖는다. [참고]

$y = f \left( x \right)$ $y = g \left( x \right)$