절댓값 지수함수와 직선의 교점 개수

자연수 $n$에 대하여 함수 $f \left( x \right) = \left| 2 ^{\left| x - n \right|} - 2 n \right|$이라 하자. $f \left( 2 n - x \right)$$= \left| 2 ^{\left| n - x \right|} - 2 n \right|$ $= \left| 2 ^{\left| x - n \right|} - 2 n \right|$ $= f \left( x \right)$ 이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $x = n$에 대하여 대칭이다. $n$이 자연수이므로 $f \left( n \right) = \left| 1 - 2 n \right| = 2 n - 1$ $f \left( 0 \right) = \left| 2 ^{n} - 2 n \right| = 2 ^{n} - 2 n$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 15$의 제$1$사분면에서의 교점의 개수가 $a _{n}$이다. (ⅰ) $f \left( 0 \right) < 15$일 때 $2 ^{n} - 2 n < 15$, $2 ^{n} < 2 n + 15$ 따라서 $f \left( 0 \right) < 15$인 자연수 $n$의 값은 $n = 1$, $n = 2$, $n = 3$, $n = 4$ 이때, $2 n - 1 < 15$, 즉 $f \left( n \right) < 15$이다.

위의 그림에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 15$의 제$1$사분면에서의 교점의 개수는 $1$이다. $\therefore$ $a _{1} = 1$, $a _{2} = 1$, $a _{3} = 1$, $a _{4} = 1$ (ⅱ) $f \left( 0 \right) > 15$일 때 $2 ^{n} - 2 n > 15$, $2 ^{n} > 2 n + 15$ 따라서 $f \left( 0 \right) > 15$인 자연수 $n$의 값은 $n = 5$, $n = 6$, $n = 7$, $\cdots$ (a) $f \left( n \right) < 15$일 때 $2 n - 1 < 15$, $n = 5$, $n = 6$, $n = 7$

위의 그림에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 15$의 제$1$사분면에서의 교점의 개수는 $2$이다. $a _{5} = 2$, $a _{6} = 2$, $a _{7} = 2$ (b) $f \left( n \right) = 15$일 때 $2 n - 1 = 15$, $n = 8$

위의 그림에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 15$의 제$1$사분면에서의 교점의 개수는 $3$이다. $a _{8} = 3$ (c) $f \left( n \right) > 15$일 때 $2 n - 1 > 15$, $n = 9$, $n = 10$, $n = 11$, $\cdots$

위의 그림에 의하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 15$의 제$1$사분면에서의 교점의 개수는 $4$이다. $a _{9} = 4$, $a _{10} = 4$, $a _{11} = 4$, $\cdots$ 이상에서 자연수 $n$에 대하여 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 15$의 제$1$사분면에서의 교점의 개수는 $\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} 1 & & \left( n = 1 , 2 , 3 , 4 \right) \\ 2 & & \left( n = 5 , 6 , 7 \right) \\ 3 & & \left( n = 8 \right) \\ 4 & & \left( n = 9 , 10 , 11 , \cdots \right) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} a _{n}$$= 1 \times 4 + 2 \times 3 + 3 \times 1 + 4 \times 12$$= 61$