대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절댓값 지수함수 그래프

문제

상수 $a$ $\left( a > 1 \right)$ 에 대하여 함수 $y = \left| a ^{x} - a \right|$ 의 그래프가 $x$ 축, $y$ 축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , 직선 $y = a$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하고, 점 $\mathrm{C}$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 1$ 일 때, 선분 $\mathrm{BC}$ 의 길이는? [3점] ① $2$ ② $\displaystyle \sqrt{5}$ ③ $\displaystyle \sqrt{6}$ ④ $\displaystyle \sqrt{7}$ ⑤ $\displaystyle 2 \sqrt{2}$

$y = \left| a ^{x} - a \right|$

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②

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기 점 $\mathrm{A}$ 의 좌표는 $\left( 1 , 0 \right)$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = 1$ 이므로 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표는 $( 2 , a )$ $a ^{2} - a = a$ $( a > 1 )$ 이므로 $a = 2$ $\left| 2 ^{0} - 2 \right| = \left| - 1 \right| = 1$ 이므로 점 $\mathrm{B}$ 의 좌표는 $\left( 0 , 1 \right)$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{5}$

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