절댓값 지수 합성함수

[출제의도] 지수함수의 그래프 추론하기 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} - x + k - 4 & \left( x < k \right) \\ \begin{aligned} \\ x - k - 4 \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( x \geq k \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이며 $k - 4 < x < k + 4$일 때 $f \left( x \right) < 0$이고, $x \leq k - 4$ 또는 $x \geq k + 4$일 때 $f \left( x \right) \geq 0$이다. 따라서 $g \left( x \right)$는 $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} a ^{- f \left( x \right)} & \left( k - 4 < x < k + 4 \right) \\ \begin{aligned} \\ a ^{f \left( x \right)} \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( x \leq k - 4 \text{또는} x \geq k + 4 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} \begin{aligned} a ^{- x + k - 4} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( x \leq k - 4 \right) \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} a ^{x - k + 4} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( k - 4 < x < k \right) \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} a ^{- x + k + 4} \\ \end{aligned} & \begin{aligned} \left( k \leq x < k + 4 \right) \\ \end{aligned} \\ a ^{x - k - 4} & \left( x \geq k + 4 \right) \end{cases}}$ (ⅰ) $0 < a < 1$일 때 함수 $y = a ^{x}$은 $x$의 값이 증가할 때 $y$의 값은 감소한다. 따라서 함수 $g \left( x \right)$는 $k - 4 < x < k$ 또는 $x \geq k + 4$일 때 $f \left( x \right)$의 값이 증가하므로 $g \left( x \right)$의 값은 감소하고, $x \leq k - 4$ 또는 $k {\leq} x < k + 4$일 때 $f \left( x \right)$의 값이 감소하므로 $g \left( x \right)$의 값은 증가한다. 따라서 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$y = g \left( x \right)$

함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 16$의 교점의 개수가 $3$이므로 $g \left( k \right) = 16$이다.

$y = g \left( x \right)$ $y = 16$

$g \left( k \right) = a ^{4} = 16$에서 $a = 2$가 되어 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a > 1$일 때 함수 $y = a ^{x}$은 $x$의 값이 증가할 때 $y$의 값도 증가한다. 따라서 함수 $g \left( x \right)$는 $k - 4 < x < k$ 또는 $x \geq k + 4$일 때 $f \left( x \right)$의 값이 증가하므로 $g \left( x \right)$의 값도 증가하고, $x \leq k - 4$ 또는 $k {\leq} x < k + 4$일 때 $f \left( x \right)$의 값이 감소하므로 $g \left( x \right)$의 값도 감소한다. 따라서 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$y = g \left( x \right)$

함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 16$의 교점의 개수가 $3$이므로 $g \left( k \right) = 16$이다.

$y = 16$ $\alpha$ $\beta$ $y = g \left( x \right)$

$g \left( k \right) = a ^{4} = 16$에서 $a = 2$이다. 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 16$의 서로 다른 세 교점의 $x$좌표를 $\alpha$, $k$, $\beta$라 두면 ($\alpha < k < \beta$) $g \left( 1 \right) = 16$이므로 다음과 같은 세 가지 경우로 나눌 수 있다. ① $\alpha = 1$일 때, $g \left( 1 \right) = g \left( k \right) = g \left( \beta \right)$이므로 $2 ^{- 1 + k - 4} = 2 ^{4} = 2 ^{\beta - k - 4}$ $- 1 + k - 4 = 4$ 따라서 $k = 9$이므로 $f \left( x \right) = \left| x - 9 \right| - 4$이다. ② $k = 1$일 때, $f ( x ) = \left| x - 1 \right| - 4$이다. ③ $\beta = 1$일 때, $g \left( \alpha \right) = g \left( k \right) = g \left( 1 \right)$이므로 $2 ^{- \alpha + k - 4} = 2 ^{4} = 2 ^{1 - k - 4}$ $4 = 1 - k - 4$ 따라서 $k = \mathit{-} 7$이므로 $f \left( x \right) = \left| x + 7 \right| - 4$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $a = 2$이므로 $f \left( a - 2 \right) = f \left( 0 \right)$이고 ①, ②, ③에서 모든 $f \left( 0 \right)$의 값의 합은 $5 - 3 + 3 = 5$이다.